Лига математиков

Найдите все трёхзначные числа, у которых сумма любых двух цифр даёт остаток 2 при делении на третью.

У Ани есть шкаф с пятью выдвижными ящиками, пронумерованными сверху вниз 1 — 5.
В каждый ящик она положила ровно один из пяти разных предметов: бутылку, монету, книгу, ключ и лампочку.

Известно, что:

1) Монета находится выше лампочки, но ниже книги.
2) Между бутылкой и лампочкой расположен ровно один ящик.
3) Ключ лежит либо в самом верхнем, либо в самом нижнем ящике.
4) Бутылка расположена выше монеты.
5) Лампочка не соседствует с ключом.

Задание: определите порядок предметов в ящиках (сверху вниз).

Небрежно расчёсанные числа — 4 шага и 7 ударов сердца

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, найдите наибольшее четырёхзначное число, которое делится на 7, состоит из четырёх различных цифр, и его цифры образуют арифметическую прогрессию.

Рассмотрите два случая:

1) Цифры образуют прогрессию в некотором порядке;

2) Цифры образуют прогрессию в том порядке, в каком стоят в числе.

Задумав некоторое натуральное число n, Дождливая Аня сложила n последовательных натуральных чисел, потом n следующих чисел, после чего полученные суммы перемножила.

Докажите, что в результате у Ани не мог получиться десятичный репьюнит (то есть число, в десятичной записи которого используется только цифра 1).

Пусть f(x)=x↑↑n, где n - нечетное натуральное число. Для каких n функция f(x) монотонно возрастает? Примечание: используется стрелочная нотация Кнута.

Я думаю, что для любого нечётного n функция f(x) монотонно возрастает, но я не смог это доказать. Я считал производную, но это не помогло. Напишите, если сможете продвинуться в этой проблеме.

По пути я придумал интересную задачу: Найдите наибольшую константу с такую, что для любых х>0 и натурального n выполнялось неравенство x↑↑(2n)>c.

У меня есть еще одна задача, которая, правда, не совсем относится к теме: Решите уравнение a↑↑b=c↑↑d в натуральных числах.

Напишите в комментарии какие-нибудь задачи, связанные с нотацией Кнута.

Даны n последовательных натуральных чисел, меньшее из которых равно m. Оказалось, что для любого целого неотрицательного k, меньшего чем n, число m(m+1)...(m+k) делится ровно на (k+1) различных простых чисел. Какое наибольшее значение может принимать n?