Пять утра - в ожидании слива вариантов
На мел.фм пишут: "Особенность 2025 года в том, что сложности были почти во всех заданиях второй части. «В 13-м, 15-м было много ловушек и нестандартных подходов, а 18-й и 19-й номера были просто запредельно сложными», — подчеркивает Владислав Вуль."
Давайте вот этот вот "запредельно сложный" №19 разберём, идейно. Если внезапно у вас была другая задача, пожалуйста, напишите условие в комментариях.
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или семи чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 567 и 1414?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом другого, если среди записанных на доске чисел есть число 567?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число n и его квадрат. Найдите наименьшее возможное значение n.
Ответ: а) нет, б) нет, в) 8.
Давайте сначала поймём, а что за числа-то вообще написаны там у них на доске. Пока что не обращаем внимания ни на какие а), б) и в). Просто читаем условие.
Записаны 10 чисел,
они все натуральные,
все разные между собой.
Среднее арифметическое любых четырёх тоже целое.
Стоп. А когда так бывает? Что нам нужно от группы чисел, чтобы любые четыре... что? (голос Харламова из того скетча) Чтобы любые четыре в сумме делились бы на 4, само собой. Именно так мы подсчитываем среднее арифметическое четвёрки чисел. И это - единственный тонкий момент, когда мы из группы в четыре целых (натуральных) числа можем внезапно словить нецелое. Складываем четыре натуральных числа - получаем опять натуральное. Делим на 4 - и тут могут быть сюрпризы.
Ок. Любые четыре в сумме делятся на 4. А их всего 10. Давайте возьмём одну четвёрку - они в сумме делятся на четыре. Теперь заменим одно из чисел любым числом из шести оставшихся. Что должно сохраниться? Делимость на 4.Что это значит? Что остаток от деления на 4 у всех десяти наших чисел один и тот же.
Бинго! Он одинаковый вообще у всех - мы же могли менять любое число в четвёрке.
И то же верно и для семёрок - все остатки у них одинаковые при делении на 7.
У нас 10 чисел,
они все натуральные,
все разные между собой,
у них одинаковые остатки при делении на 4,
и при делении на 7 у них тоже одинаковые остатки.
Теперь вернёмся к вопросам в задаче.
а) 567 и 1414 имеют разные остатки при делении на 4. Они вообще разной чётности. А надо, чтобы остатки все совпадали.
б) число 567 даёт остаток 3 при делении на 4. У всех, напомним, чисел он одинаковый. Но у квадрата числа с остатком 3 должен быть остаток 1. Противоречие.
в) если у n и его квадрата одинаковые остатки, какими могут быть эти остатки? Давайте проверим.
При делении на 4:
0 в квадрате даёт тоже 0,
1 в квадрате даёт тоже 1,
2 в квадрате даёт... 0 (не подходит),
3 в квадрате даёт 1 (не подходит).
Аналогично, при делении на 7 подойдут только 0 или 1.
Какие вообще минимальные натуральные числа имеют такие остатки? Это 1 (остаток 1 при делении и на 4, и на 7), 8 (остаток 0 при делении на 4, 1 при делении на 7) и другие побольше.1 не подходит, так как "1 и его квадрат" должны быть разными числами, но мы-то знаем...
Короче, n = 8, квадрат 64 (с теми же свойствами), ну и ещё каких-нибудь чисел набрать, с шагом 28=7*4. Все они кратны четвёрке (у всех при делении на 4 остаток 0) и все дают остаток 1 при делении на 7.
Не то, чтобы я записала эту задачу убористо. Прямо вот нет, напротив. Это очень подробные рассуждения, оформлять можно проще. Короче.
Просто я сейчас выписала не сам текст, который надо было сдать на бумаге, а процесс поиска этого текста.
Ещё была версия про "несколько натуральных подряд, среди которых сколько-то там (ровно пять, что ли) делятся на 15". И там вопросы а-ля "сколько максимум среди написанных чисел могут делиться на 16".
Ну тоже. На 15 делится кто? Камаз Каждое пятнадцатое. Значит самый длинный кусок натурального ряда - чтобы "каждых пятнадцатых" было бы ровно пять, и хвосты влево-вправо ещё на максимум чисел. От сколько-то раз 15, не включительно, до... до посчитайте сами, кого ещё (не включительно тоже).
Так вы найдёте длину нужного промежутка, а дальше надо ещё так расположить, чтобы с делимостью на 16 максимально бы выиграть.
Если хотите разбор ещё какой-то задачи, пишите в комментарии номер.
Если внезапно у вас сохранились условия, ещё и условия тоже пишите - возможно, у меня под рукой конкретно вашего задания нету.
Отдельно добавим, что разбирать тут в редакторе чисто текстовом задачу с параметрами или там чертежами - то ещё удовольствие. Так что за скорость выкладывания решений я не ручаюсь.
По результатам ЕГЭ вообще и в целом: вопрос, выражена ли просадка по результатам год к году среди парней сильнее, чем у девушек? Если да, возможно, дело не только в задачах. Если гипотеза верная, я бы смотрела в сторону восприятия перспектив: как современные выпускники видят цену вопроса. Что означает сегодня "не поступить в вуз".
Когда ты сегодня не поступаешь и просто пробуешь завтра - это одно. Когда тебя вытряхивают из вагона - как бы другое.
И плюс за кадром идея думская, что не пошли бы вы в техникум. Хотя бы в колледж, вместо этих ваших 10-11 классов. И это всё - последние пару лет только. Как раз сегодняшние выпускники пошли в десятый два года назад.
