Продолжаем рассуждать о бесконечностях и тем, что с ними связано. В комментариях к предыдущему посту упомянули апорию Зенона об Ахиллесе и черепахе, давайте разберемся, что же в ней происходит.
Собственно, сама апория звучит так:
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Из житейского опыта ясно, что Ахиллес не только догонит, но и перегонит черепаху. Что же здесь утверждается с точки зрения математики? Пусть Ахиллес сначала пробежит тысячу шагов за время t, потом 100 шагов за время 0.1t, потом 10 шагов за время 0.01t, потом один шаг за время 0.001t и так далее. Зенон предлагает найти момент времени, в который Ахиллес догонит черепаху, путем суммирования этих интервалов времени. Поскольку таких интервалов бесконечное количество, то Зенон полагает сумму бесконечной. Иными словами, Зенон постулирует следующее утверждение:
Сумма бесконечного числа слагаемых бесконечна.
Что ж, нам остается лишь показать, почему это не так.
Важное замечание. Слова "последовательность" и "предел" имеют строгое значение в математическом анализе, однако полное изложение основ анализа остается за рамками этого поста. Кроме того, я буду пользоваться некоторыми фактами о последовательностях, не приводя их доказательств. Желающие могут вывести их самостоятельно или обратиться к любому учебнику математического анализа.
Бесконечная последовательность чисел, которую мы хотим просуммировать, называется числовым рядом. Не всякий числовой ряд имеет конечную сумму. Но что есть сумма бесконечного числа чисел вообще?
Мы хорошо понимаем, что такое сумма конечного числа слагаемых, и можем вычислить ее за конечное время. Если мы попытаемся непосредственно вычислить сумму ряда, то никакого конечного времени нам не хватит. За конечное время мы можем лишь просуммировать несколько первых элементов ряда. Будем называть такие значения частичными суммами. Частичные суммы ряда образуют последовательность.
Для примера рассмотрим числовой ряд 1, 0.1, 0.01, 0.001 и т.д., тогда последовательность его частичных сумм имеет вид: 1, 1.1, 1.11, 1.111 и т.д.
Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм, если он существует. Ряд, сумма которого конечна, называется сходящимся (также говорят просто "ряд сходится").
Таким образом, вопрос суммирования бесконечного количества слагаемых сводится к нахождению предела последовательности.
Найдем предел нашей последовательности частичных сумм. [Отметим, что он равен 1.(1), однако в силу сложившейся неоднозначности в понимании этого обозначения мы не будем его использовать.] Для этого воспользуемся уже доказанным фактом: последовательность 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 и т.д. сходится и имеет предел, равный 1. Также будем пользоваться тем, что последовательность можно почленно умножить на одно и то же число: это не влияет на сходимость, и предел новой последовательности равен пределу исходной, умноженному на то же число. Имеем:
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... -> 1, разделим на 9 (умножим на 1/9):
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111 ... -> 1/9, умножим на 10:
1, 1.1, 1.11, 1.111 ... -> 10/9.
Таким образом, предел последовательности частичных сумм существует и равен 10/9. Это означает, что ряд имеет конечную сумму (сходится):
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ... = 10/9
Возвращаясь к Ахиллесу и черепахе, мы можем убедиться, что Ахиллес догонит черепаху через t + 0.1t + 0.01t + 0.001t + ... = 10/9 * t времени (ряд можно умножать на число так же, как и последовательность). Тем самым утверждение Зенона математически неверно, и противоречия не возникает.
Может показаться, что суммы бесконечных рядов подчиняются тем же правилам, что и конечные суммы, но это не так. В качестве примера приведу красивую теорему (разумеется, без доказательства).
Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
Пусть дан числовой ряд, который сходится условно, тогда для произвольного числа можно так поменять порядок элементов ряда, что сумма нового ряда станет равна этому числу. Более того, можно так переставить элементы ряда, чтобы сумма ряда стремилась к положительной или отрицательной бесконечности или же вовсе не стремилась ни к какому пределу, конечному или бесконечному.
Простыми словами: в некоторых сходящихся рядах перестановка слагаемых может привести к изменению суммы ряда. Разумеется, для конечных сумм порядок суммирования не играет роли.
