Я помню, еще в школе мне рассказали доказательство того, что сумма катетов прямоугольного треугольника равна его гипотенузе (не квадратов).
Возьмем обычный прямоугольный треугольник АВС, и докажем, что АВ+ВС=АС.
Начнем дорисовывать к гипотенузе промежуточные треугольники.
Как видно, сумма красных отрезков равна длине катета ВС, а сумма зеленых - катета АВ. Надеюсь, что доказывать этого не надо, и это очевидно =)
Далее продолжим увеличивать количество этих треугольников.
Сумма красных отрезков по-прежнему равна катету ВС, а сумма зеленых - катету АВ.
И продолжаем увеличивать их количество до бесконечности.
В итоге, в пределе этой бесконечности, площадь этих дополнительных треугольников станет равна нулю, а сама красно-зеленая ломанная линия станет гипотенузой АС. Но при этом сумма красных отрезков по-прежнему будет равняться ВС, а зеленых - АС. В итоге, в пределе, и выйдет, что АВ+ВС=АС...
Понятно, что это хрень полная, и все там не так просто, но на не особо искушенный взгляд школьника средних классов все выглядит стройно и правильно, как и в задаче про 0,999=1. Можете потроллить своих детишек, что сильны в геометрии =)
Быстроногий Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, поскольку Ахиллесу необходимо сначала добежать до места, откуда начала движение черепаха, а она за это время немного уползет вперед до нового места. Ахиллес будет должен добежать до этого нового места, но черепаха за это время хоть немного, но уползет вперед. В результате окажется, что черепаха всегда будет на какое-то расстояние опережать Ахиллеса.
Как ввести в заблуждение если не следовать логической последовательности. Не так все просто. 9Х делится после перемножения или каждый знаменатель отдельно. Получается так: (9*Х)÷9≠9÷9 (9÷9)*(Х÷9)≠9÷9
Я не касался пи-адических чисел, но, кажется, что там всё именно так. Не спешите называть смешное смешным, возможно, кто-то уже построил из этого стройную теорию)
Если вы внимательно прочитаете то, что я написал, то догадаетесь, что я был в курсе. Я, конечно, польщен, что вы вообразили, будто эти равенства я придумал сам, но нет, я их проходил в своей ФМШ при изучении p-адических чисел.
Именно что "кто-то построил стройную теорию". Чтобы позволять себе фокусы вроде
10 * 0,(9) = 9,(9) = 9 + 0,(9) => 10x = 9 + x => x = 1,
тоже нужно построить стройную теорию. Которая была опущена в исходном "доказательстве".
Причем обычно в курсах матана сперва с большей или меньшей строгостью разбираются с тем, что нам тут "доказывали", и только гораздо позже вводится аппарат, позволяющий построить такую теорию.
Самое начало МГУшного курса матана. Что такое предел, студенты узнают через несколько параграфов, а что можно делать с рядами - через год.
Конечно, такие "доказательства" для школы вполне допустимы. Часто похожим образом в школе "доказывается" и существование числа пи.
Бывают и гораздо хуже примеры. Например, формула Эйлера в школьных курсах комплексных числах обычно даётся с дикими нарушениями простейшей логики, можно даже сказать с грубыми риторическими манипуляциями. Ребенку говорят: давай комплексное число z с модулем ρ и аргументом φ записывать в виде ρ * exp(iφ) - почему бы и нет? Ребенка ведь готовили к такому жульничеству, когда заявили без доказательства, что в формальной записи a + ib буковка i - это мнимая единица. Но тут у школьника хотя бы были шансы разобраться.
И вдруг ему говорят, что раз z = ρ * exp(iφ), то и z^n = ρ^n * exp(inφ) и всякое прочее, ведь со степенями принято обращаться именно так. Чистой воды жульничество. Почему эта формула верна, ученик если и поймет, то через два года в курсе ТФКП.
А большинство запомнят идиотский маразм типа "тождество Эйлера - самая красивая формула в математике". Эйлер бы очень удивился, что это тождество кто-то назвал его именем и считает важным.
(Собственно, первая дыра появилась еще когда нам в 7 классе строго, формально, с растолкованием мотивации показали, как возводить числа в натуральную, целую, рациональную степени, а потом вдруг стали - особенно при изучении логарифмов - использовать действительные степени, даже не упомянув, что можно и в каком смысле. Потом вот перешли к комплексной степени.)
Это так называемое "доказательство" основано на игре слов и привычке людей к десятиной дискретности. Автор сначала демонстрирует нам очевидное - что 0.(9) - это бесконечное число девяток после запятой. А затем берет созвучное число 9.(9) и полагает, что здесь тоже бесконечное число девяток после запятой.
Но это - РАЗНЫЕ бесконечности. Хотя звучит слово одинаково, но обозначает оно разные НЕОБОЗРИМЫЕ последовательности.
Приведу пример - во Вселенной количество звезд равно бесконечности. С этим никто не поспорит. А сколько атомов в этой же Вселенной? Тоже бесконечность. Сами понимаете, что это разные бесконечности, хотя бы потому, что в одной звезде заведомо больше одного атома.
Или второй пример - берем бесконечно много чего-нибудь, например, песчинок. Затем, к этому множеству добавляем одну песчинку - получилось ДРУГОЕ множество, хотя обыватель снова оценит его размер тоже словом "бесконечность".
Наконец, где же конкретно ошибка в формулах из примера. Ошибка в "Х" - в математике переменная - это конечное число. По определению предел может стремиться к бесконечности, но НИКОГДА не достигает её.
П.С. Делаем простое опровержение - заменяем 0,(9) (или как автор пишет фразу "в периоде" - 0,999...) на любую другую цифру, например на 0,(3).
Во времена Эйлера (гения математики и все такое, без шуток) не существовало некоторых современных правил в математике.
А тут - нет:
Доказывайте через ряды))
По принятому ныне подходу к матанализу, доказывать тут нечего.
0.999(9) = 1.000(0) по определению.
"Доказательство" Эйлера - всего лишь одна из иллюстраций того, что выбранное определение разумно и описывает привычные нам действительные числа.
С одной стороны, это "доказательство" избыточно, так как доказываемое утверждение следует из определения.
С другой стороны, оно нестрогое. Ведь пока не доказано, что с рядами можно так обращаться. Более того, есть куча известных примеров, где подобный подход ведет к странным результатам, например таким же образом можно найти 1+1+1+1+1+... (= 0), 1+2+4+8+... (= -1) и т.д.
Не всегда, конечно, но часто - чем глупее человек тем он увереннее и агрессивнее пытается доказать свою правоту. (Все приведенные ниже комментарии объективно не правы)
А если уж в политику зайти, там совсем жесть творится.
