Как видно, сумма красных отрезков равна длине катета ВС, а сумма зеленых - катета АВ. Надеюсь, что доказывать этого не надо, и это очевидно =)

Далее продолжим увеличивать количество этих треугольников.

Сумма красных отрезков по-прежнему равна катету ВС, а сумма зеленых - катету АВ.

И продолжаем увеличивать их количество до бесконечности.

В итоге, в пределе этой бесконечности, площадь этих дополнительных треугольников станет равна нулю, а сама красно-зеленая ломанная линия станет гипотенузой АС.
Но при этом сумма красных отрезков по-прежнему будет равняться ВС, а зеленых - АС.
В итоге, в пределе, и выйдет, что АВ+ВС=АС...

Понятно, что это хрень полная, и все там не так просто, но на не особо искушенный взгляд школьника средних классов все выглядит стройно и правильно, как и в задаче про 0,999=1.
Можете потроллить своих детишек, что сильны в геометрии =)

Конечно, такие "доказательства" для школы вполне допустимы. Часто похожим образом в школе "доказывается" и существование числа пи.

Бывают и гораздо хуже примеры. Например, формула Эйлера в школьных курсах комплексных числах обычно даётся с дикими нарушениями простейшей логики, можно даже сказать с грубыми риторическими манипуляциями. Ребенку говорят: давай комплексное число z с модулем ρ и аргументом φ записывать в виде ρ * exp(iφ) - почему бы и нет? Ребенка ведь готовили к такому жульничеству, когда заявили без доказательства, что в формальной записи a + ib буковка i - это мнимая единица. Но тут у школьника хотя бы были шансы разобраться.

И вдруг ему говорят, что раз z = ρ * exp(iφ), то и z^n = ρ^n * exp(inφ) и всякое прочее, ведь со степенями принято обращаться именно так. Чистой воды жульничество. Почему эта формула верна, ученик если и поймет, то через два года в курсе ТФКП.

А большинство запомнят идиотский маразм типа "тождество Эйлера - самая красивая формула в математике". Эйлер бы очень удивился, что это тождество кто-то назвал его именем и считает важным.

(Собственно, первая дыра появилась еще когда нам в 7 классе строго, формально, с растолкованием мотивации показали, как возводить числа в натуральную, целую, рациональную степени, а потом вдруг стали - особенно при изучении логарифмов - использовать действительные степени, даже не упомянув, что можно и в каком смысле. Потом вот перешли к комплексной степени.)

А если уж в политику зайти, там совсем жесть творится.

Строгое доказательство существования предела можно провести, используя теорему Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности. Я не буду его приводить здесь, чтобы не усложнять пост. Ограничимся утверждением, что у последовательности (1) предел есть.

После того, как мы доказали существование предела, мы можем обозначить его за Х. Обращаю внимание: Х это число. Теперь рассмотрим последовательность, которая получается из последовательности (1) умножением каждого ее элемента на 10:

9, 9.9, 9.99, 9.999 и т.д. (2)

Предел последовательности (2) равен 10Х.

Отбросим у последовательности (2) первый элемент - это не изменит ее предела. После этого почленно вычтем последовательность (1) из последовательности (2):

9.9 - 0.9 = 9,
9.99 - 0.99 = 9,
9.999 - 0.999 = 9, и т.д. (3)

Последовательность (3) - стационарная, она состоит только из девяток, соответственно, ее предел тоже равен 9. С другой стороны, предел последовательности (3) есть разность пределов последовательностей (2) и (1):

10Х - Х = 9
9Х = 9
Х = 1

Итак, мы показали, что последовательность (1) имеет предел, и что этот предел равен 1. Что и требовалось доказать.

P.S. отмечу, что иногда подобные доказательства проводят в обратном порядке. Предполагают, что предел существует, находят его возможное значение, а потом строго доказывают существование.