Горячее
Лучшее
Свежее
Подписки
Сообщества
Блоги
Эксперты
Войти
Забыли пароль?
или продолжите с
Создать аккаунт
Я хочу получать рассылки с лучшими постами за неделю
или
Восстановление пароля
Восстановление пароля
Получить код в Telegram
Войти с Яндекс ID Войти через VK ID
Создавая аккаунт, я соглашаюсь с правилами Пикабу и даю согласие на обработку персональных данных.
ПромокодыРаботаКурсыРекламаИгрыПополнение Steam
Пикабу Игры +1000 бесплатных онлайн игр
Сыграйте в классический пасьянс и попробуйте разложить по порядку колоду из 52 карт, начиная с короля и заканчивая тузом. Игра имеет четыре варианта: с 1, 2, 3 и 4 мастями. Выиграйте как можно больше в каждом варианте и улучшите свои показатели.

Пасьянс Паук «Классический»

Карточные, Логическая, Мобильная

Играть

Топ прошлой недели

  • Oskanov Oskanov 8 постов
  • alekseyJHL alekseyJHL 6 постов
  • XpyMy XpyMy 1 пост
Посмотреть весь топ

Лучшие посты недели

Рассылка Пикабу: отправляем самые рейтинговые материалы за 7 дней 🔥

Нажимая кнопку «Подписаться на рассылку», я соглашаюсь с Правилами Пикабу и даю согласие на обработку персональных данных.

Спасибо, что подписались!
Пожалуйста, проверьте почту 😊

Новости Пикабу Помощь Кодекс Пикабу Реклама О компании
Команда Пикабу Награды Контакты О проекте Зал славы
Промокоды Скидки Работа Курсы Блоги
Купоны Biggeek Купоны AliExpress Купоны М.Видео Купоны YandexTravel Купоны Lamoda
Мобильное приложение

Апория

7 постов сначала свежее
3
FeS21
2 месяца назад

Ахиллес и черепаха: поймай меня, если сможешь⁠⁠

Продолжаем рассуждать о бесконечностях и тем, что с ними связано. В комментариях к предыдущему посту упомянули апорию Зенона об Ахиллесе и черепахе, давайте разберемся, что же в ней происходит.

Собственно, сама апория звучит так:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Из житейского опыта ясно, что Ахиллес не только догонит, но и перегонит черепаху. Что же здесь утверждается с точки зрения математики? Пусть Ахиллес сначала пробежит тысячу шагов за время t, потом 100 шагов за время 0.1t, потом 10 шагов за время 0.01t, потом один шаг за время 0.001t и так далее. Зенон предлагает найти момент времени, в который Ахиллес догонит черепаху, путем суммирования этих интервалов времени. Поскольку таких интервалов бесконечное количество, то Зенон полагает сумму бесконечной. Иными словами, Зенон постулирует следующее утверждение:

Сумма бесконечного числа слагаемых бесконечна.

Что ж, нам остается лишь показать, почему это не так.

Важное замечание. Слова "последовательность" и "предел" имеют строгое значение в математическом анализе, однако полное изложение основ анализа остается за рамками этого поста. Кроме того, я буду пользоваться некоторыми фактами о последовательностях, не приводя их доказательств. Желающие могут вывести их самостоятельно или обратиться к любому учебнику математического анализа.

Бесконечная последовательность чисел, которую мы хотим просуммировать, называется числовым рядом. Не всякий числовой ряд имеет конечную сумму. Но что есть сумма бесконечного числа чисел вообще?

Мы хорошо понимаем, что такое сумма конечного числа слагаемых, и можем вычислить ее за конечное время. Если мы попытаемся непосредственно вычислить сумму ряда, то никакого конечного времени нам не хватит. За конечное время мы можем лишь просуммировать несколько первых элементов ряда. Будем называть такие значения частичными суммами. Частичные суммы ряда образуют последовательность.

Для примера рассмотрим числовой ряд 1, 0.1, 0.01, 0.001 и т.д., тогда последовательность его частичных сумм имеет вид: 1, 1.1, 1.11, 1.111 и т.д.

А теперь определение:

Суммой ряда называется предел последовательности его частичных сумм, если он существует. Ряд, сумма которого конечна, называется сходящимся (также говорят просто "ряд сходится").

Таким образом, вопрос суммирования бесконечного количества слагаемых сводится к нахождению предела последовательности.

Найдем предел нашей последовательности частичных сумм. [Отметим, что он равен 1.(1), однако в силу сложившейся неоднозначности в понимании этого обозначения мы не будем его использовать.] Для этого воспользуемся уже доказанным фактом: последовательность 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 и т.д. сходится и имеет предел, равный 1. Также будем пользоваться тем, что последовательность можно почленно умножить на одно и то же число: это не влияет на сходимость, и предел новой последовательности равен пределу исходной, умноженному на то же число. Имеем:

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... -> 1, разделим на 9 (умножим на 1/9):
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111 ... -> 1/9, умножим на 10:
1, 1.1, 1.11, 1.111 ... -> 10/9.

Таким образом, предел последовательности частичных сумм существует и равен 10/9. Это означает, что ряд имеет конечную сумму (сходится):

1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ... = 10/9

Возвращаясь к Ахиллесу и черепахе, мы можем убедиться, что Ахиллес догонит черепаху через t + 0.1t + 0.01t + 0.001t + ... = 10/9 * t времени (ряд можно умножать на число так же, как и последовательность). Тем самым утверждение Зенона математически неверно, и противоречия не возникает.

Может показаться, что суммы бесконечных рядов подчиняются тем же правилам, что и конечные суммы, но это не так. В качестве примера приведу красивую теорему (разумеется, без доказательства).

Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
Пусть дан числовой ряд, который сходится условно, тогда для произвольного числа можно так поменять порядок элементов ряда, что сумма нового ряда станет равна этому числу. Более того, можно так переставить элементы ряда, чтобы сумма ряда стремилась к положительной или отрицательной бесконечности или же вовсе не стремилась ни к какому пределу, конечному или бесконечному.

Простыми словами: в некоторых сходящихся рядах перестановка слагаемых может привести к изменению суммы ряда. Разумеется, для конечных сумм порядок суммирования не играет роли.

Enjoy)

Показать полностью
Математика Бесконечность Математический анализ Математический парадокс Парадокс Апория Текст
4
Enteredusername
1 год назад

Апория⁠⁠

Что мы говорим богу прокрастинации?

[моё] Игра престолов Вопрос Апория Текст
6
218
KuzminMV
KuzminMV
2 года назад

Объяснение апорий Зенона⁠⁠

Предисловие

Дискуссии по философскому содержанию и методам опровержения парадоксальных высказываниями Зенона ведутся длительное время и до сих пор. Их решением занимались Аристотель и многие учёные.  Одни считают, что все апории поддаются разрешению с развитием высшей математики, иные, что трудности, связанные с апориями «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия», «Летящая стрела», остались не преодоленными. Эти дискуссии и попытки объяснения апорий продолжаются и в настоящее время. С учётом замечаний в комментариях я ещё раз повторяю, что апории уже опровергаются практикой. Поэтому их анализ и объяснение направлены на выявление ошибок в якобы логически безупречных положениях авторов.

Объяснение апории «стадион» 

Апория «Стадион» интересна тем, что показывает методы анализа движения при отсутствии понятия о скорости и трудности определения небольших промежутков времени. Оригинальный текст апории не сохранился, поэтому мы рассматриваем её формулировку и объяснения в изложении Аристотеля. Он излагает её длинно и не чётко:«Четвёртое [рассуждение] относится к равным предметам, движущимся по ристалищу с противоположных сторон мимо равных [неподвижных предметов: одни [движутся] с конца ристалища, другие от середины, имея равную скорость, откуда, по его мнению, получается, что половина времени равна её двойному количеству». К тому же из текста апории не следует её заключение, что «…половина времени равна её двойному количеству». То есть, что 1/2=1. Замечание о недостаточной убедительности может быть сделано и к её объяснению Аристотелем. Возможно, апория была искажена до него при пересказе другими философами или при переводе «Физики» Аристотеля. Вероятно, поэтому эту апорию по-разному излагают в настоящее время различные исследователи. Но все основываются на выводе Аристотеля о том, в чём заключается её нелогичность: «…в том [предположении], что одинаковая величина, двигаясь с равной скоростью один раз мимо движущегося, другой раз мимо покоящегося [тела], затрачивает на это равное время, что неверно».

Так, в справочнике Л. В. Блинникова «Великие философы», рекомендованном для студентов ВУЗов, она формулируется так: «Два тела (предмета, колонны- замеч.- авт.) движутся навстречу друг другу и относительно друг друга. В этом случае одно из них затратит на прохождение мимо другого столько же времени, сколько оно затратило бы на прохождение мимо покоящегося. Значит половина равна целому, что нелепо».  Это определение почти дословно повторяет вывод Аристотеля, но менее точно характеризует условия апории. Поэтому мы должны  принять за основу вывод апории, что1/2 =1, и попытаться представить, на основе чего Зенон сделал такое парадоксальное заключение. Это можно пояснить схемой движения предметов, представленной на рис. 1. На нём 1― неподвижный предмет, 2 и 3 ― предметы, движущиеся по направлению стрелок. Вертикальной линией «с» обозначена середина предмета 1. Длина всех предметов (рядов) одинакова ― L,  величины скоростей предметов 2 и 3 одинаковы.

Объяснение апорий Зенона Наука, Апория, Зенон, Стадион, Время, Пространство, Аристотель, Ученые, Актуальное, Скорость, Эксперимент, Длиннопост

Рис.1. Расположение предметов: а) начальное, б) предметы 2 и 3 одновременно прошли: L/2 мимо 1 и L мимо друг друга

На рис.1 каждый предмет 2 и 3 проходят одновременно мимо друг друга полностью и мимо половины предмета 1. Из схемы движения предметов (рис. 1) вместо логичного вывода о влиянии быстроты движения (если понятия скорость ещё не было) на время прохождения их относительно иных предметов делается вывод, что целая единица времени равняется своей же половине. Из рис.1 следует, что Зенон мог сделать свой вывод (1/2=1), вероятно, на основе правильного учёта соотношения времён прохождения предметов относительно друг друга, а не по причине, указанной Аристотелем, и в её формулировке Блинниковым и другими.

Объяснение этой апории вели, рассматривая и критикуя представление Зенона о пространстве и времени. При этом считали, что для пространства и времени Зеноном вводится принцип неделимых элементов, имеющих конечные размеры, на прохождение которых требуется одинаковое время. Например, Джеральд Уитроу в книге «Естественная философия времени» по поводу этой апории пишет: «...даже Зенон при обсуждении апории «Стадий» молчаливо обращался к представлению о непрерывности, хотя данная апория основана на предположении об атомарном характере пространства и времени. Логически непротиворечивое решение этой проблемы должно опираться на представление о последовательных дискретных состояниях, между которыми нельзя вставить никакие другие состояния...»  Какие дискретные состояния имеются в виду?  Какие состояния можно вставить между дискретными состояниями пространства или времени?  Только пространства и времени, что не меняет структуру пространства, и времени.  А может между состоянием предметов? Откуда они всё это взяли?
Это пример наукообразного, по-моему, бессодержательного текста, который не способствует объяснению апории. Этим грешат многие учёные, особенно философы.  Я, в общем, против любого наукообразных или патетических заявлений при объяснении своих действий, так как они не для раскрытия сущности явления или действий используются, а совсем в других целях.

Вообще-то, не очень понятно, какое представление имели древние (например Зенон) о скорости. Сам Зенон в апории о скорости упоминал?  Скорость упоминается в пересказе Аристотеля. Есть предание, что при обращении путника к Сократу с вопросом о том, когда он придёт в ….? Сократ ответил: «Иди!»  Когда удивлённый путник пошёл, то Сократ вслед ему проговорил: «Если так будешь идти, то придёшь … (сказал когда)». То есть, вероятно, понятие скорости не было, хотя быстрота передвижения учитывалась.

К тому же в то время измерять небольшие промежутки времени было нельзя или затруднительно. Поэтому Зенон и расположил объекты одинаковой длины (пусть колонны) так, чтобы движущийся объект проходил и мимо движущегося ему навстречу, и мимо неподвижного. За одно и то же время предмет (или колонны) 2 пройдёт мимо всего предмета (или колонны) 3 и половины предмета (колонны) 1. Всё наглядно и время измерять не надо.

Действительно, к абсурду приводит положение, что на прохождение мимо одного объекта, движущегося или неподвижного, требуется одинаковое время, что и отмечает Аристотель. Это является следствием того, что Зенон не использовал понятие скорости. Поэтому при её объяснении нет необходимости вдаваться в рассуждения о свойствах времени. В любом случае в апории имеется очевидное ошибочное суждение, так как время прохождения одного предмета мимо другого зависит от их длины и скорости одного относительно другого. На полное прохождение мимо друг друга равных по длине предметов (колонн) с одинаковыми скоростями затрачивается в два раза меньше времени, чем на прохождении ими мимо неподвижного предмета. Поэтому в апории и получилось, что один равен двум, а не другое соотношение.При различной скорости движущихся предметов соотношение  частей времени будет иным.

Выводы

Для нашего уровня развития механики ошибочное заключение этой апории очевидно. В настоящее время ведутся исследования, создание технических устройств и практическая работа на наноразмерном и менее уровнях. В ближайшее время (как будет показано в следующих постах этой серии) возможен переход на размерный уровень атома, элементарных частиц и менее. При этом мы зачастую не можем наглядно представить структуру объекта и провести контрольный эксперимент. Поэтому анализ логических положений или теоретических выводов и умение найти в них ошибку сейчас приобретает всё большее значение.Наряду с этим следует отметить, что зачастую неправильно истолковывают и результаты эксперимента. Как показывает эта апория из наблюдений и результатов, как сказали бы теперь, мысленного эксперимента был сделан совершенно нелогичный вывод. Вместо того, чтобы разобраться с тем, почему один предмет проходит быстрее или медленнее относительно других, и от «быстрее» перейти к формированию понятия скорости, начинаются манипуляции со временем.

Небольшое замечание

В новой Российской энциклопедии указано: «Апория, в отличие от П. (парадокса-расшифровка авт.), является логически верной, но вымышленной ситуацией, которая не может существовать в реальности.»  В определении апории при этом не учитывается очевидная ситуация, известная каждому исследователю (и теоретику, и экспериментатору): если предварительные логические положения или теоретические выводы правильны, то они подтверждаются практикой, в частности экспериментами. Следовательно, апории как самостоятельного понятия в смысле приведённого определения существовать не может.  Её иногда определяют как разновидность парадокса. Поэтому апории часто и обоснованно именуются парадоксами.

Использованные источники
Этот список предлагается не только для указания использованных источников, но и для возможности более подробного ознакомления с излагаемым материалом.
1. Блинников Л.В. Великие философы: Учебный словарь-справочник. М.: «Логос», 1997.
2. Аристотель Физика, книга 6, глава 9. https://ru.wikisource.org/wiki/Физика_(Аристотель)/Книга_6/Глава_9.  
3. Время и современная физика. Сб. статей. М.: «Мир», 1970. 
4. Апория Зенона «Стадион»: физическая дискретность и математическая непрерывность | Философские байки. https://dzen.ru/a/XLTMGqQYZAC0N7GW.
5. Кузьмин М. В. Объяснение парадоксов. От Зенона до Эйнштейна и далее.― М.: Изд. Бит-принт, 2021.

Показать полностью 1
[моё] Наука Апория Зенон Стадион Время Пространство Аристотель Ученые Актуальное Скорость Эксперимент Длиннопост
25
499
Zenn
Zenn
7 лет назад

Весёлые апории Зенон расскажет наш⁠⁠

Весёлые апории Зенон расскажет наш
ВКонтакте Комментарии Апория Ахиллес и Черепаха Владимир Сумбаев
41
Timason1
11 лет назад

Апория, или логическая задачка для ума⁠⁠

Апория, или логическая задачка для ума
Задача Для ума Апория
6
ruslan131095
ruslan131095
11 лет назад

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения черепаха находится впереди Ахиллеса.⁠⁠

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Источник Wikipedia.
Ахиллес Черепаха Апория
24
1
YouCanNotRenameYourGuy
YouCanNotRenameYourGuy
12 лет назад

Внутренний диалог⁠⁠

-- Если мысли материализуются, как говорил Будда, то почему я не могу все время смотреть на котиков в интернете?
-- Ну вот, ты же сам подумал! :D
[моё] Буддизм Апория
1
Посты не найдены
О Нас
О Пикабу
Контакты
Реклама
Сообщить об ошибке
Сообщить о нарушении законодательства
Отзывы и предложения
Новости Пикабу
RSS
Информация
Помощь
Кодекс Пикабу
Награды
Команда Пикабу
Бан-лист
Конфиденциальность
Правила соцсети
О рекомендациях
Наши проекты
Блоги
Работа
Промокоды
Игры
Скидки
Курсы
Зал славы
Mobile
Мобильное приложение
Партнёры
Промокоды Biggeek
Промокоды Маркет Деливери
Промокоды Яндекс Путешествия
Промокоды М.Видео
Промокоды в Ленте Онлайн
Промокоды Тефаль
Промокоды Сбермаркет
Промокоды Спортмастер
Постила
Футбол сегодня
На информационном ресурсе Pikabu.ru применяются рекомендательные технологии