Бесконечная последовательность чисел, которую мы хотим просуммировать, называется числовым рядом. Не всякий числовой ряд имеет конечную сумму. Но что есть сумма бесконечного числа чисел вообще?

Мы хорошо понимаем, что такое сумма конечного числа слагаемых, и можем вычислить ее за конечное время. Если мы попытаемся непосредственно вычислить сумму ряда, то никакого конечного времени нам не хватит. За конечное время мы можем лишь просуммировать несколько первых элементов ряда. Будем называть такие значения частичными суммами. Частичные суммы ряда образуют последовательность.

Для примера рассмотрим числовой ряд 1, 0.1, 0.01, 0.001 и т.д., тогда последовательность его частичных сумм имеет вид: 1, 1.1, 1.11, 1.111 и т.д.

А теперь определение:

Таким образом, вопрос суммирования бесконечного количества слагаемых сводится к нахождению предела последовательности.

Найдем предел нашей последовательности частичных сумм. [Отметим, что он равен 1.(1), однако в силу сложившейся неоднозначности в понимании этого обозначения мы не будем его использовать.] Для этого воспользуемся уже доказанным фактом: последовательность 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 и т.д. сходится и имеет предел, равный 1. Также будем пользоваться тем, что последовательность можно почленно умножить на одно и то же число: это не влияет на сходимость, и предел новой последовательности равен пределу исходной, умноженному на то же число. Имеем:

0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... -> 1, разделим на 9 (умножим на 1/9):
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111 ... -> 1/9, умножим на 10:
1, 1.1, 1.11, 1.111 ... -> 10/9.

Таким образом, предел последовательности частичных сумм существует и равен 10/9. Это означает, что ряд имеет конечную сумму (сходится):

1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + ... = 10/9

Возвращаясь к Ахиллесу и черепахе, мы можем убедиться, что Ахиллес догонит черепаху через t + 0.1t + 0.01t + 0.001t + ... = 10/9 * t времени (ряд можно умножать на число так же, как и последовательность). Тем самым утверждение Зенона математически неверно, и противоречия не возникает.

Может показаться, что суммы бесконечных рядов подчиняются тем же правилам, что и конечные суммы, но это не так. В качестве примера приведу красивую теорему (разумеется, без доказательства).

Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
Пусть дан числовой ряд, который сходится условно, тогда для произвольного числа можно так поменять порядок элементов ряда, что сумма нового ряда станет равна этому числу. Более того, можно так переставить элементы ряда, чтобы сумма ряда стремилась к положительной или отрицательной бесконечности или же вовсе не стремилась ни к какому пределу, конечному или бесконечному.

Простыми словами: в некоторых сходящихся рядах перестановка слагаемых может привести к изменению суммы ряда. Разумеется, для конечных сумм порядок суммирования не играет роли.

Enjoy)

Сначала попробую рассказать, откуда взялся порядок операций. Вот видео, перескажу его вкратце.

Итак, пересказ видео

Порядок операций по умолчанию — не математическая истина, а договорённость.

Чтобы явно указать этот порядок, используют скобки. Экстремальный вариант — взять в скобки каждую операцию (т.н. полная скобочная запись), но тогда даже очень простое выражение быстро становится нечитаемым.

((2·(x²)) + (3·x)) − 5

Потому хотелось бы уменьшить количество скобок, отсюда порядок операций «если иное не указано».

Но давайте сначала сделаем две ремарки.

1. В математике плюс и умножение переместительны и сочетательны (коммутативны и ассоциативны, как говорят в вузе) — a+b=b+a, a+(b+c)=(a+b)+c. На компьютере формально нет сочетательности, но глюки значимы очень редко. То есть не важно, в каком порядке суммировать/множить.

2. Вычитание — это нечто близкое к сложению: a−b = a+(−b). А деление — нечто близкое к умножению: a/b = a·(b⁻¹). Потому то и другое будет иметь одинаковый приоритет.

Из этих ремарок автоматически отпадает одна скобка: (2·(x²)) + (3·x) − 5.

А почему остальные скобки выпали до 2·x² + 3·x − 5 — есть очень много аргументов.

Аргумент точности и гипероператоров

Степень обычно приводит к большим цифрам. Умножение — к меньшим. Сложение — к совсем маленьким. Если нужно очень приближённо вычислить что-то, сначала получают самые большие члены (например, степенны́е), а потом всё ближе и ближе подходят к ответу, умножая и прибавляя, пока точности не будет хватать. И математики это обобщили в гипероператоры.

Гипероператор нулевого порядка — это следующее число x′ = x+1.

Гипероператор первого порядка — это сложение a+b = a″…″ (много штрихов) = a+1+…+1.

Гипероператор второго порядка — это умножение a·b = a+a+…+a.

Гипероператор третьего порядка — это степень aᵇ = a·a·…·a.

А гипероператор четвёртого порядка называется тетрация и приводит к вообще астрономическим числам.

Аргумент анализа размерностей

Считать по формулам обычно нужно потому, что эти числа имеют какое-то отношение к реальности — то есть тащат за собой единицы измерения. И запрещается складывать самолёты с часами, можно только самолёты с самолётами и часы с часами. А множить самолёты на часы не возбраняется, и получаются самолёто-часы — часы авиационной работы.

Анализ размерностей заключается вот в чём: смотрим, в каких единицах каждый член, и всё это должно совпадать. Вот несложная формула из физики: s = vt + at²/2. Считаем: s — метры. vt — (м/с)·с — тоже метры. И так далее.

Мне, Mercury13, приходилось делать несложную мобильную гонку. Да, она несложная, но движок работал на единицах СИ, и подобным анализом я исправлял очень много ошибок.

Аргумент алгебры

Сложение и умножение обладают также распределительностью (дистрибутивностью) — a·(b+c) = a·b + a·c. Порядок «сначала умножение, потом сложение» позволяет легче видеть в выражениях подобные шаблоны.

Аргумент многочленов

Многочлены вроде ax²+bx+c играют большую роль во многих отраслях математики, и хотелось бы их держать без скобок.

…В общем, на Западе всё это объясняют аббревиатурой PEMDAS.

• Parentheses — скобки

• Exponent — возведение в степень

• Multiplication/Division — умножение/деление

• Addition/Subtraction — сложение/вычитание

Но откуда тогда взялся мем, если порядок типа-определённый?

А взялся он из одного разночтения и трёх дополнительных факторов. Напоминаю, порядок операций — не математическая истина, а договорённость, призванная уменьшить количество скобок.

• Первое и главное. Имеет ли неявное умножение ab (то есть умножение без явно прописанного знака «умножить») приоритет перед делением?

• В профессиональной математике — и даже в старших классах — крайне редко делят двоеточием a:b. Чаще используется дробная черта, явно показывающая, что на что делить. В некоторых договорённостях эти знаки неравноценны, но забьём.

• На компьютерах математикам приходится вытягивать свои выражения в строчку. Не столько для программирования (там поставят столько скобок, сколько комп требует), сколько для передачи другим математикам через системы общего назначения вроде форумов или электронной почты.

• Как видите, есть разночтения, и комп их усилил. Отбивка пробелами также призвана их закрыть: операции, отбитые пробелами, считаются менее приоритетными, чем записанные слитно.

О калькуляторах и зарубежных учебниках будет рассказ в этом видео. В общем, есть калькуляторы, у которых неявное умножение имеет более высокий приоритет, есть те, у которых наравне с остальным. На одни калькуляторы ругались учителя, на другие — профессионалы.

А я попробую рассказать про наши родные источники. В любом случае в наших учебниках разночтений типа a/b(c+d) не будет: вылезут из кожи, но сверстают настоящую дробь. В профессиональной литературе такие места единичны, и пролистав доступные книги, получаю такое.

• Бейко ИВ и др. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации. К: 1983. Набор металлический. С.149 первая формула (что-то там)/(γ+1)||g(yᵏ)|| — неявное умножение раньше дробной черты, с учётом ремарок VI на с.147 и (ii) на с.148. Также нашёл на с.324.

• Каханер Д и др. Численные методы и программное обеспечение. М: 1998. Набор неизвестной издательской системой (Word?). Вытянутых в строчку формул очень мало, но с. 201 третья строка — 1/√π ∫ в интеграле ошибок явно говорит, что дробная черта раньше неявного умножения. В другом месте на с.328 написали (что-то там)/(2L).

А теперь различные докомпьютерные источники по этому правилу.

• Репьёв ВВ. Методика преподавания алгебры в восьмилетней школе. М: 1967. — с.81.

• Шустеф ФМ. Методика преподавания алгебры. Минск: 1967. — с.43.

Уже видно, что с этим разногласие даже у методистов.

А теперь разрешите процитировать одного комментатора из-за бугра: «В этом примере смешаны запись из начальной школы и институтская, причём бессмысленно. Те, кто помнит арифметику, ответят 9. Те, кто больше помнят алгебру, вероятнее, ответят 1».

Кто в курсе, почему я добавил эту картинку?

Интересный математический эксперимент. Фракталы или игры хаоса со своей закономерностью.

Баянометр молчал

Всем привет, сегодня я вам расскажу об одном интересном и мозговыносящем явлении, которое позволит вам повысить математическое ожидание в некоторых играх на 25% просто щелчком пальцев. И как бы не идиотски это звучало, но при некоторых условиях это должно работать. Для тех кому лень читать, как всегда есть видео (которое я бы и рекомендовал).

Прелесть эксперимента в том, что его довольно легко воссоздать. Итак, представим, что вы попали на телешоу, в котором ведущий предлагает вам две шкатулки и говорит, что в обеих лежат деньги, но в одной денег вдвое больше чем в другой. Вы открываете правую шкатулку и ведите внутри 10 000. И тут ведущий вам говорит: "хочешь открыть вторую коробку? Но при условии, ты обязательно заберёшь то, что внутри, а 10 000 оставишь." И тут у вас в голове сразу начинают прокручиваться варианты. И тут вы вроде вспоминаете что если предлагают, то нужно менять. То ли вспомнили парадокс Монти Холла, то ли про то, что нечто подобное смотрели в фильме «21».

И вы говорите: - Обожди Якубович, мне подумать нужно. Достаёте ручку и бумагу и начинаете размышлять примерно так: у меня на руках 10 000 рублей из правой шкатулки. Так как изначально в шкатулках лежат суммы, которые отличается друг от друга вдвое, то в левой шкатулке сумма либо вдвое меньшая 5 000, либо вдвое большая 20 000. И так как коробочку мы выбрали случайно, то и вероятность будет 50% на оба события. Так же вы вспоминаете про мат ожидание. Которое равно вероятность умноженной на значение. И начинаете писать M=P1*S1+P2*S2. Где Р1 и Р2 вероятность событий (они равны 50%), а S1 и S2, количество денег, которые мы можем заработать. Подставляем значение в формулу.

М=0,5*5000+0,5*20000=12500. Ага! Математическое ожидание больше, чем имеющаяся у нас сумма. И мы смело меняемся. Получив 25% к имеющийся сумме в виде мат ожидания.

Многие из вас скажут «что за бред, зачем мне виртуальные 25%. Фигня всё это». Но мат ожидание работает для множества испытаний. Допустим, что этот ведущий играет с вами в эту игру каждое утро, когда вы идёте на работу, например. А ещё он играет в неё с вашим коллегой – Игорем. И каждому из вас предлагает поменять шкатулку, после того как вы её открыли. Так как вы всё подсчитали, вы постоянно меняете коробочку, а Игорь думает, что он и так хорош. И никогда не меняет. В результате этого эксперимента, вы будете получать на 25% больше денег нежели Игорь. И это кажется совершенно абсурдно. Но давайте попросту посчитаем в экселе, он то всё выдержит. Ведь всего то нужно написать три формулы:

В ячейку А1 пишем «=СЛУЧМЕЖДУ(1;100)» – это, случайное число, от 1 до 100. Его мы получим, открыв первую шкатулку.

В ячейку B1 записываем «=СЛУЧМЕЖДУ(0;1)» – случайное между 0 и 1. Если 0, то во второй шкатулке будет денег вдвое меньше, если 1, то вдвое больше

В ячейку С1 запишем «=ЕСЛИ(B1=1;A1*2;A1/2)» ну а это то что будет во второй ячейке.

А теперь всё это растянем на 1000 ячеек вниз.

50448 – Это сумма которую выиграл Игорь, за 1000 игр. 60920 – сумма, которую выиграли вы, находясь в одинаковых начальных условиях, но совершив обмен. 1,21 – во сколько раз вы заработали денег больше, чем Игорь. В пределе это значение будет стремится к 1,25. Ну и 466 – именно столько раз из тысячи во второй шкатулке денег оказалось больше. Заметим, даже если чаще денег во второй шкатулке было меньше, то по итогу вы всё равно оказались в плюсе.

Если вы мне не верите на слово, то можете повторить эти расчеты в экселе самостоятельно.

Но мы с вами будем размышлять немного дальше. Вызывает после всего этого Эрнст нашего ведущего и говорит:

- Аркадич, что творится то?! Некий человек выигрывает на 25% больше денег чем остальные, уже на протяжении 1000 испытаний. В чем дело?! Быть может ты ему подыгрываешь?

На что ведущий отвечает:

- Я не подыгрываю, но он каждый раз просто выбирает «другую» шкатулку. Быть может в этом причина. И с этого момента ведущий не предлагает вам сменить шкатулку, после её открытия, и вы с Игорем начинаете выигрывать примерно одинаковую сумму.

И далее вы проворачиваете вот такой финт ушами. После того как утром ведущий предлагает вам выбрать коробку, вы мысленно заявляете: «я выбираю правую коробку!» так же вы для себя помечаете что в ней находится Х рублей. И с этим трудно поспорить, потому что в ней действительно может находиться такая сумма. И для подтверждения этого факта вы щёлкаете пальцами на руке «ЩЁЛК!». После этой сделки со вселенной вы определили сумму в правой шкатулке как Х, давайте прикинем сколько будет в левой М=0.5*0.5x+0.5*2X=1.25X (!!!). В левой теперь находиться бОльшая сумма. Потому что нам на самом деле и не обязательно открывать коробку. Мы же точно знаем, что будем совершать обмен, не важно от того какое там количество денег, сто рублей, миллион рублей или Х рублей.

В момент выбора вы снова щёлкаете пальцем и указываете на другую коробку. Вот и всё. Вы снова начали обходить Игоря.

Я назвал этот феномен «мысленный двущёлкательный эксперимент». Здравый смысл от нас улетел уже довольно давно. Мы ведь деньги зарабатываем щелчком пальцев. Но по формулам всё вроде сходится. А теперь давайте к самому интересному. Если после данного двущёлканья пальцами, вы и вправду будете зарабатывать больше Игоря, то просто шикарно, мы генерируем деньги щелчком пальцев. А если нет, то мы только что увидели коллапсирование волновой функции в мире математике. Ведь, по сути, факт открывания шкатулки ничего не значит. Мы в любом случае выберем «другую» шкатулку, но именно факт открытия позволяет реализоваться иксу в определённую сумму, и только после этого увеличит сумму в соседней шкатулке в 1,25 раз. Что очень уж похоже на коллапсирование волновой функции в мире квантов, и влияние наблюдателя на процесс.

И я не знаю, что из этого безумнее. Всё это звучит как полнейший бред.

Ну и тут, конечно, нам поможет только практические исследования. Вы можете попробовать вместе с коллегами или друзьями провести такой опыт. Один каждое утро будет выдумывать совершенно произвольное число, потом кидать монетку и, если выпадет орёл, то вторым числом будет вдвое большее, а если решка, то вдвое меньшее, а затем записывать эти числа на двух бумажках. А другой будет выбирать одну из бумажек вслепую ничем не щёлкая, третий сменит свой выбор после того как узнает сумму на бумажке, а четвёртый пускай щёлкает (он будет тёмной лошадкой). Конечно, результаты нужно записывать, хотя бы месяц, и затем посмотреть у кого денег больше))))

Ах да. Сразу я, конечно, не расскажу есть ли логическое объяснение у этого парадокса. Интрига))) Ваше мнение, очень интересно было бы услышать в комментах. Ведь я и сам могу трактовать этот парадокс неверно.