В теме про математику в американских школах был комментарий @yurgens72 :

Ещё академик Арнольд рассказал что американцы, поступающие в универ на мехмат не могут в уме разделить 111 на 3. Требуют калькулятор.

Интересно было разобраться, действительно ли Арнольд такое говорил и насколько это справедливо.

Арнольд говорил нечто похожее в интервью в "Науке и жизни" (В. Губарев, "Академик В. И. Арнольд: Путешествие в хаосе", НиЖ, №12, 2000), привожу интервью с купюрами:

- Несколько лет назад в Америке шли так называемые «калифорнийские войны». Штат Калифорния вдруг заявил, что выпускники школ недостаточно подготовлены, чтобы учиться в университете. Молодые люди, приезжающие в Америку, к примеру, из Китая, оказывается, подготовлены гораздо лучше американских школьников в математике, физике, химии, в других науках. При поступлении в университет американцы не выдерживают конкуренции с китайцами, корейцами, японцами.

Американцы создали общенациональную комиссию по образованию, чтобы определить круг проблем, вопросов и задач, которые старшеклассник должен уметь решать при поступлении в университет. Комитет по математике возглавил нобелевский лауреат Гленн Сиборг. Он составил требования к выпускнику школы. Главное из них - умение 111 разделить на 3!

- Вы шутите?

- Отнюдь! К семнадцати годам школьник должен эту арифметическую операцию производить без компьютера. Cейчас они этого делать не умеют... Более того, 80% современных учителей математики в Америке понятия не имеют о дробях, не могут сложить половину с третью. А среди учеников таких - 95%!

Теперь о физике. Я сам читал требования к американской Федеральной программе обучения. Там, в частности, говорится, что школьник должен знать о двух фазовых состояниях воды, которая в холодильнике превращается в лед. Гленн Сиборг потребовал, чтобы в программу ввели три фазовых состояния - еще и водяной пар. Конгресс запротестовал, прошли бурные дебаты, и штат Калифорния был осужден и осмеян за то, что посмел усомниться в качестве образования американцев. Инициативе Калифорнии старались придать и «расовую» и «политическую» окраску. Битва продолжалась два года. Победил все-таки штат Калифорния, так как его очень дотошный адвокат нашел в истории США прецедент, при котором закон штата становился в случае конфликта выше федерального закона. То есть образование в США временно победило...

Как видим, Арнольд вовсе не утверждал, что 111 на 3 не могут разделить поступающие на американские мехматы.

Но что вообще стоит за словами Арнольда?

Федеральная программа обучения. Арнольд перепутал. Конечно, битвы между умным штатом и глупыми федералами не было. У американцев ни в те времена, ни даже сейчас нет федеральной программы, федеральные законы ни описывают, какие знания должны быть у школьников. Этот вопрос решается на уровне штатов, но и то очень ограниченно. В штатах часто есть требования к количеству пройденных курсов по разным предметам, есть тесты. В некоторых штатах есть местные стандарты, в других нет. Полный перечень образовательных требований всех 50 штатов на 1990 год здесь: Educational Standards in the 50 States: 1990. Вот пример первой задачи из теста штата Алабама (AHSGE):

Несложно, но, согласитесь, не 111:3. И это школьный экзамен, а не вступительный на мехмат.

До создания Common Core, некоторого аналога ФГОСа, Арнольд не дожил. Да и этот Common Core не спущен сверху федералами, а принят добровольно самими штатами, и вовсе не всеми. Common Core стандартизует математику. Забавно, что задания типа 111:3 действительно не стандартизованы: беглое деление в пределах сотни требуется по пункту CCSS.Math.Content.3.OA.C.7, дроби изучают по стандарту в 3-5 классах, но нигде не сказано, что ученики должны уметь делить 111.

Арнольд не мог видеть федеральной программы обучения по физике. Её нет до сих пор. В большинстве штатов США физика не обязательна. Физику проходит лишь 40% американских школьников, а в 2000 году, когда Арнольд давал интервью, физику проходили 30% выпускников: https://ww2.aip.org/statistics/high-school-physics-overview

Требование знать о двух фазовых состояниях, жидком и твердом, Арнольд сейчас мог бы увидеть в межштатовском стандарте по природоведению NGSS. Но пункт HS-PS1-3 Matter and its Interactions говорит и про газообразное состояние. Хотя в теме наук о Земле действительно упомянуты только два состояния.

Мог бы увидеть, но не увидел. Стандарт NGSS появился только в 2013 году. Не федеральный, а принятый на местном уровне половиной штатов.

Комитет по математике и Сиборг.

Гленн Сиборг действительно входил в комиссию по образованию National Commission on Excellence in Education. Правда, возглавлял её администратор от образования, политолог и специалист в педагогике Гарднер, а Сиборг стал членом комиссии только в 1983 году - на последний год существования комиссии. После 1983 Сиборг не был членом национальных комиссий. Конечно, не мог он составлять требования к выпускникам, где запрещалось бы использование "компьютеров" (калькуляторов?) при делении 111 на 3.

На самом деле комитет опубликовал в 1983 году доклад A Nation at Risk: The Imperative for Educational Reform (см. в википедии). Там раскритиковали школьное образование и призывают принять меры по его исправлению. Но там нет абсурдных требований к выпускникам уметь делить. Там вообще требования совершенно иного характера: чтобы штаты приняли более требовательные критерии получения школьного аттестата, выраженные в количестве учебных курсов (в США как правило каждый предмет изучается ежедневно 1 год, зато в выборе предметов у учеников есть некоторая свобода).

Отчёт вызвал шумную реакцию. Не такую, как статья 1958 года со сравнением образа жизни американского и советского школьников: Эксперимент по сравнению образований СССР и США - но тоже заметную.

Впоследствии Сиборг уже в частном порядке опубликовал обновление: 'A Nation at Risk' Revisited, но и там не предлагается проверять способность учеников совершать какие-то конкретные действия.

Реальный уровень школьной математики.

Реальный уровень довольно слаб. Я уже писал об этом в посте Опережающая математика в школах США. 0 - Введение

Низкий уровень владения математикой и у учителей. Точнее, многие учителя владеют математикой недостаточно хорошо. Одна из причин изложена тут: Ответ на пост «Медведев заявил о дефиците преподавателей математики в школах» - разница между зарплатами математиков и учителей провоцирует нехватку компетентных учителей математики.

Но речь не идёт о неспособности большинства учителей математики оперировать дробями 1/2 и 1/3, как заявил Арнольд. Сравним, что одновременно, в 2000 году сказали

русский и французский физик Арнольд в интервью "Науке и жизни":

80% современных учителей математики в Америке понятия не имеют о дробях, не могут сложить половину с третью. А среди учеников таких - 95%

и бывший министр образования и замминистра, профессор педагогики в 700-страничной книге, разбирающей и критикующей американское школьное образование:

По данным Национального научного фонда, только 7% учителей 1-4 классов получили образование в области математики или математической педагогики. Среди преподавателей математики 5-8 классов только 18% получили соответствующее образование. Около 40% учителей жалуются, что не чувствуют себя достаточно квалифицированными для преподавания своих предметов. Страх, что ваши ученики будут задавать вопросы, на которые вы не можете ответить, не способствует хорошему опыту педагогики.

Кому верить?

Заметьте, Арнольд в США никогда не работал. Он работал в России и во Франции и критиковал как российское, так и французское образование. В отличие от Андрея Смилги (Чему учат на западном океане) и Виктора Доценко (Пятое правило арифметики), Арнольд обвинял французских студентов не в том, что те якобы не умеют делить. Процитирую его статью "О преподавании математики" 1998 года:

Ученик французской начальной школы на вопрос «сколько будет 2+3» ответил: «3+2, так как сложение коммутативно». Он не знал, чему равна эта сумма, и даже не понимал, о чем его спрашивают! По моему преподавательскому опыту во Франции, представление о математике у студентов (вплоть даже до обучающихся математике в École Normale Supérieure — этих явно неглупых, но изуродованных ребят мне жалко больше всего) — столь же убого, как у этого школьника.

Например, эти студенты никогда не видели параболоида, а вопрос о форме поверхности, заданной уравнением xy = z², вызывает у математиков, обучающихся в ENS, ступор. Нарисовать на плоскости кривую, заданную параметрическими уравнениями (вроде x = t³ – 3t, y = t⁴ – 2t²) — задача совершенно невыполнимая для студентов (и, вероятно, даже для большинства французских профессоров математики).

Студенты ENS, прослушавшие курсы дифференциальной и алгебраической геометрии (прочитанные уважаемыми математиками), оказались незнакомыми ни с римановой поверхностью эллиптической кривой y² = x³ + ax + b, ни вообще с топологической классификацией поверхностей (не говоря уже об эллиптических интегралах первого рода и о групповом свойстве эллиптической кривой, т.е. о теореме сложения Эйлера–Абеля) — их учили лишь структурам Ходжа и якобиевым многообразиям!

Существенная разница! Французские студенты столь слабы, что знакомы только с якобиевыми многообразиями, но не с топологической классификацией поверхностей. А Доценко и Смилга говорят, будто французские студенты не умеют складывать простейшие дроби.

Как человек, тоже сталкивавшийся с французскими студентами примерно в те же времена, скажу, что прав всё-таки Арнольд. Французские студенты-технари действительно "плавают" в теме поверхностей второго порядка. Но складывать дроби они, конечно, умеют. Умеют их складывать и американцы. Это стандартная программа 3-5 классов американских школ. Просто Арнольд в жизни, вероятно, не видел ни одной американской школы и уж точно не оценивал ее выпускников.

Напоследок про Калифорнийские математические войны.

Арнольд рассказал про умную Калифорнию, боровшуюся с глупыми федералами за качество образования.

Реальная история подробно изложена в статье The Math Wars: California Battles It Out over Mathematics Education Reform (1997). Не федералы навязали сопротивляющимся калифорнийцам убогие программы, а департамент образования штата Калифорния в конце 80-х - начале 90-х принял решение уйти от традиционного способа преподавать математику к другим, ориентированным на разностороннее рассмотрение "практической задачи". Стандарт и программы придумывали образователи из разных штатов, члены общественной организации National Council of Teachers of Mathematics. Федеральный Минобр сказал: "Вот тут ребята из NCTM выбрали десять программ, присмотритесь к ним".

Только Калифорния согласилась провести этот эксперимент, поскольку их департамент образования и сам хотел чего-то подобного. Реформа оказалась провальной. Самыми заметными и ругаемыми стали программы MathLand и IMS (Interactive Mathematics Program).

Хотя ту реформу свернули, с сожалением констатирую, что эта зараза распространилась и на другие штаты. Федералы ни при чём, это местные инициативы. Всякие разновидности "conceptual math", Illustrative Mathematics, Math in Focus, RightStart и т.п. Лично мое мнение, что математику в США надо реформировать совершенно другим образом, в том числе перейти на упражнения советского типа, усвоенного и в Азии.