Параллельность

Нет параллельных и в проективной геометрии, про которую иногда говорят, что в ней параллельные пересекаются в бесконечно удаленной точке: в нестрогом смысле так и есть, но бесконечная точка для того и введена, чтобы можно было работать как бы в Евклидовой геометрии, но объявив, что параллельных прямых в ней нет.

В быту можно говорить, что параллельные прямые пересекаются в проективной геометрии, но формально это неверно, там все прямые объявлены непараллельными. В геометрии же Лобачевского параллельные прямые есть и они не пересекаются - по определению.

Это студент Физтеха должен был узнать еще из школы. В обычных школах неевклидовы геометрии не проходят (хотя в учебнике Атанасяна в конце про них немного говорится), но определение параллельных даётся в любом учебнике, и из него понятно, что параллельные не могут пересекаться ни в какой геометрии, если не придумать для слова "параллельный" какое-то нестандартное определение.

Перейдем к навету на Физтех, будто там на матанализе учат делить на ноль.

На ноль в математическом анализе не делят.

Изучают сходимость отношения двух функций или последовательностей, вторая из которых бесконечно малая. И получают ответ: если первая не бесконечно малая, то оно (отношение) - бесконечно большое, в противном случае общего правила нет и можно раскрыть неопределенность, например, методом Лопиталя. На ноль при этом никто не делит.

В обычных школах этому не учат: пропустив тему пределов, сразу переходят к производным. Но если бы @cSharpminor успешно закончил первый семестр на Физтехе, его бы этому научили. Вот скан из физтеховского учебника по матану:

Можно ли делить на ноль где-то еще, не в математическом анализе? В принципе можно, рассматриваются алгебраические структуры, для которых это допустимо. Так как такие структуры не обладают полезными свойствами (они не поля, не кольца, даже не полуполя), их редко изучают в вузах.

Предвижу типичные комментарии и сразу на них отвечу.

"В матанализе делят не на ноль, а на бесконечно малое число" - нет, в традиционном матанализе нет понятия бесконечно малого числа. Единственное число, которое так можно было бы назвать, это ноль. И в матанализе не учат делить ни на какое число. Вы путаете деление на число с нахождением предела отношения двух функций, одна из которых стремится к числу.

"В матанализе делят не на ноль, а на число, стремящееся к нулю" - число никуда не стремится, стремятся функции и последовательности.

"Делить можно, получается бесконечно большое число" - бесконечно большого числа не существует, кроме как в некоторых экзотических расширениях. Причем в том расширении, которое используется чаще - аффинном - на ноль все равно делить нельзя, потому что непонятно, какое из двух бесконечных чисел взять. В обычных же определениях, как и в быту, числа "бесконечность" нет. В матане его тоже нет: значок ∞ используется как сокращенная запись того, что функция или последовательность неограниченно возрастает.

"Параллельные прямые пересекаются в бесконечности" - не совсем, см. объяснение выше. Это евклидовы параллельные прямые, не пересекаясь в евклидовом пространстве, могут считаться условно пересекающимися на некой бесконечно удаленной прямой. Польза от такого определения только в том, что пропадает понятие параллельности, а евклидовы аксиомы меняются так, что допускается двойственность: можно назвать точки прямыми, а прямым точками, и все старые утверждения останутся верными.

Сначала определимся с терминами. Слово "параллельный" имеет несколько значений, но мы говорим не о параллельном импорте и не о параллельном подключении электронных компонентов. Мы говорим о геометрии. Строго говоря, термин "параллельный" применяется в планиметрии и относится к прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (т.е. не имеют общих точек). Иногда еще говорят о параллельных плоскостях (по аналогии: две плоскости одного трехмерного пространства, не имеющие общих точек) или о параллельности прямой и плоскости. Но у нас речь идет именно о параллельности прямых (или, точнее, о частях параллельных прямых - лучах и отрезках).

Вторая оговорка: мы сейчас игнорируем любые волновые проявления свойств света, не говорим о дифракции или интерференции, а также пренебрегаем преломлением света в атмосфере и тем более гравитационным искажением пространства. Мы говорим строго в рамках чисто геометрической оптики, и считаем, что свет распространяется строго по прямой.

Ну и третье уточнение: любая точка поверхности Солнца излучает свет во всех направлениях. Этот момент совершенно правильно раскрыт в исходных роликах.

Так вот: что, собственно, означают слова "параллельный свет" или "поток параллельного света" или "параллельный поток света"? Да очень просто: это такой световой поток, все лучи в котором параллельны. В оптике такой пучок света называют "коллимированным". И если вы зайдете в гугл, он вам немедленно ответит, что свет звезд является коллимированным, кроме Солнца. Давайте разберемся, почему.

Берем Солнце, ставим перед собой непрозрачный экран и делаем в нем крохотную дырочку (булавочный прокол, или пинхол). Теперь мы можем рассмотреть все возможные траектории лучей света от Солнца, которые пройдут через наш булавочный прокол:

Как вы видите, крайние лучи (показанные красным) этого потока света образуют конус. Лучи в котором, очевидно, НЕ параллельны. Угол при вершине этого конуса составляет примерно 0,5 градуса. Это немного, но достаточно заметно. Если вы поставите экран на расстоянии метра от нашей ширмы, то вместо световой точки на этом экране вы увидите световой кружок диаметром примерно 9 мм. Слышу, как кто-то из читателей кричит: "да у вас же пинхол-камера получилась!". Да, именно она. Она же камера-обскура. А световой кружок - это просто перевернутое изображение Солнца. А вот если вы направите такую камеру-обскуру на далекую звезду, то на вашем изображении получится не кружок, а все равно точка. Именно поэтому свет далеких звезд (собственно, всех звезд кроме Солнца) считается параллельным (коллимированным). Что тут еще важно? Обратите внимание на главный (центральный) луч, показанный синим. Этот луч является осью нашего конуса и направлен строго в центр солнечного диска, т.е. строго в центр Солнца. Эту расходимость солнечного света можно легко наблюдать воочию по краям тени в солнечный день: чем ближе предмет к земле, тем более резкие у тени края. Хотел сделать наглядную демонстрацию, но последние две недели нифига солнца у нас не было и еще неизвестно когда будет :(

Но ведь дырка в облаках, через которую проходит солнечный свет, не булавочный прокол, а вполне себе большая дырка (имеет конечный размер). Это что-то меняет? Да, меняет. Внутри этого пучка света получается больше разных возможных траекторий - но этот световой луч все равно ограничен расходящимся конусом примерно с таким же углом в 0,5 градуса при вершине:

И у такого конуса по-прежнему главный (синий) луч - это ось конуса, и направлен он строго в центр Солнца.

А теперь про два "луча" солнечного света, пробивающихся через две дырки в облаках. На самом деле это два конуса, как показано на втором рисунке. Как мы разобрали в самом начале, двум конусам сам термин "параллельные" неприменим, потому что это не прямые. Но, может быть, оси этих конусов параллельны? Тут я бы сказал, что практически да. Для любого практического применения, использования и построения, их можно считать параллельными. Но тут почему-то Алекс начал настаивать, что они параллельны строго в математическом смысле, и что они никогда не пересекутся даже в бесконечности. Но подождите: мы же только что увидели, что ось любого такого конуса направлена строго в центр Солнца. Поэтому строго в центре Солнца они и пересекутся. А с точки зрения математики не бывает "почти" параллельных прямых. Или прямые пересекаются, или нет. То есть если включать "режим зануды" (математика вместо физика) - то нет, даже оси их не параллельны. И если между двумя разрывами в облаках, расстояние, скажем, 1 км, то угол между осями этих конусов легко посчитать, зная расстояние до Солнца. Этот угол составляет примерно 0,00000039 градуса. Да, угол очень маленький - но не нулевой. Поэтому правильно сказать "практически параллельны", но неправильно сказать "строго параллельны".

На всякий случай повторю еще раз: этот угол настолько мал, что ни увидеть, ни измерить его практически невозможно. И кажущееся расхождение лучей (может быть градусов 60 на глазок, как на этой фотографии из фотостока Adobe FIL#223526111) - это просто перспективное искажение. Про это Алекс все совершенно правильно в своих роликах рассказал.

При этом, разумеется, внутри любой пары их этих конусов света обязательно найдутся два строго параллельных луча (если только расстояние между дырками в облаках меньше, чем диаметр Солнца). Тут никакого противоречия нет.

А бывает ли вообще параллельный (коллимированный) поток света, кроме как от далеких звезд? Конечно, бывает. Его очень легко получить в лаборатории: для этого надо взять точечный источник света (как на нашей первой картинке), и поставить за ним линзу (или параболическое зеркало) - так чтобы источник был а ее фокусе (картинка из Британики). Такое устройство называется ВНЕЗАПНО - коллиматор. Да, именно это оптическое устройство и называется коллиматором. А прицел для огнестрельного оружия называется "коллиматорный прицел".

Тут, конечно, физика опять "подгаживает" математике. Для идеально коллимированного пучка нужен точечный (бесконечно малый) источник света, который должен быть точно в фокусе линзы идеальной формы. И с каждым из трех условий возникают сложности. Бесконечно малого источника не бывает. Он всегда какой-то размер, да имеет. А когда щель становится достаточно маленькой, начинается проявляться всякая дрянь типа дифракции света на щели. Форму линзы сейчас умеют делать очень хорошо - лучше, чем дифракционный предел. То есть форму можно считать идеальной. А вот дисперсию никто не отменял - поэтому точное фокусное расстояние линзы зависит от длины волны света. Если поставить линзу так, что зеленый свет будет точно в фокусе (и идеально коллимироваться), то красный свет будет уже чуть-чуть не в фокусе, и поток красного света после линзы будет слегка расходящимся. Тут можно или свет брать монохроматический, или специальные сложные оптические системы городить для устранения так называемых хроматических аберраций. На этой картинке, кстати, нарисована не простая линза, а классический "ахроматический дублет" - склейка из двух линз с разным коэффициентом преломления. В таком дублете для двух длин волн фокус точно совпадает, а в промежутке между ними - более-менее совпадает.

В реальной жизни обычно приходится искать компромисс между степенью коллимированности пучка света и его яркостью. Типичный пример - оптический спектрометр. Чем более параллельный пучок света попадает на дифракционную решетку внутри спектрометра, тем лучше получается разрешение. Но тем меньше света, тем дольше нужна выдержка и тем хуже соотношение сигнал/шум. Поэтому часто входная щель спектрометра регулируется. Ее можно открыть побольше - и тогда сигнал становится сильнее, легче заметить очень слабые пики, но зато все пики становятся шире, и два близких пика могут слиться в один. А можно входную щель сделать поменьше - и тогда пики становятся более узкими, но в то же время и более слабыми. При том что шум детектора остается таким же.