Лига упоротых расчетов

Может быть, когда-нибудь я снова буду считать в первую очередь для Пикабу. Может, минусы и бан по рейтингу снова включат, и я удалю этот пост. Но точно не сегодня.

Спасибо всем, кто считал вместе со мной, считал лучше меня, считал веселее и больше)

Вы замечательные. И я все еще остаюсь тут - но только ради комьюнити.

Пингвины довольно долго высиживают яйца, у большинства видов этот срок достигает 2 месяцев, а у отдельных видов — 100 дней. Причём от высиживания пингвин не отлучается ни на минуту. Понятное дело, он не может ни поесть без посторонней помощи, ни нормально сходить в туалет, поэтому высиживающего яйца пингвина кормит партнёр (впрочем, не всегда), а вместо похода в туалет пингвин просто выстреливает фекалиями на расстояние около 40 см.

Последний процесс и стал объектом пристального внимания учёных.

В 2003 году учёные установили, что для стрельбы фекалиями пингвин развивает 10-60 кПа ректального давления, в зависимости от вязкости кала и размера клоаки. Но эта работа использовала модель течения Хагена-Пуазейля, которая учитывала только горизонтальный полёт струи кала по воздуху. Это слишком упрощённая модель, не дающая ответов на самые важные вопросы, поэтому японские учёные решили дополнить её.

Во-первых, они приняли во внимание то, что гнёзда у пингвинов обычно представляют собой возвышенность около 1,1 м. Если клоака установлена под углом 21° к горизонту, это даёт 1,03 м расстояния фекального выстрела, а при максимальной высоте гнезда в 2 м радиус поражения увеличивается до 1,34 м.

Ось Х — высота гнезда, ось Y — расстояние полёта фекалий


Во-вторых, учёные сделали поправки на сопротивление воздуха, использовав W-функцию Ламберта. Поправки, впрочем, не сократили ощутимо дальность полёта фекалий.

В-третьих, авторы более точно оценили ректальное давление с помощью уравнения Бернулли и учёта движения фекалий по кишечнику в гравитационном поле. Второй фактор значительно снижает требуемое для выстрела давление — с 4,6 кПа до 2,3 кПа при тех же параметрах. Но при прохождении кишечника поток фекалий получает дополнительное давление, так что итоговое ректальное давление оказалось в 1,4 раз выше. Если бы человек мог развивать такое же давление, он мог бы стрелять струями кала на расстояние до 3 м.

Естественно, угловой размер связан не с самим шаром, а с диаметром круга, который мы видим (изображение шара для глаза - это круг). Ну то есть в общем случае он связан с отрезком, который видит человек, камера или персонаж в игре

Как строится изображение

Предупреждение: так как я не занимаюсь разработкой видеоигр, то могу не могу быть полностью уверен в данной математической модели. Если она ошибочна в общем случае, то прошу указать об этом в комментариях

Спроецируем все объекты, которые мы можем увидеть из некоторой точки на какую-то поверхность. Вот только на какую? Так как по любому направлению проецироваться объекты должны одинаково, то очевидным будет сделать проекцию на сферу, в центре которой находится наблюдатель. На этой сфере находятся все объекты, которые может увидеть наблюдатель, изменяя только направление своего взгляда. Естественно, из-за ограниченного угла обзора наблюдатель видит только часть этой сферы
Однако мониторы прямоугольные и, в основном, плоские, поэтому теперь видимый кусок сферы нужно спроецировать на прямоугольник. Отсечем от сферы те части, которые наблюдатель не видит, а из концов отрезанного куска проведем прямые, пересекающиеся в центре. На этих отрезках и будет лежать прямоугольник, и для удобства его можно построить прямо на концах куска сферы:

Зеленая плоскость - это как раз плоскость монитора

И теперь, чтобы спроецировать некоторую точку на плоскость монитора, проведем прямую от этой точки на сфере до центра сферы. Точка пересечения с плоскостью и будет проекцией точки на эту плоскость. Кстати, такой метод проецирования объясняет, почему по краям изображение растягивается

Находим угловые размеры

Пусть есть какой-то отрезок, который находится в поле зрения наблюдателя. Проведем прямые из концов этого отрезка в центр сферы. Угол между прямыми как раз и будет угловым размером этого отрезка. Теперь пересекаем эти прямые с плоскостью монитора и получаем концы отрезка уже на изображении. И теперь, если нам известны точки, которыми отрезок ограничен, то мы можем определить угловой размер. Как это сделать?

Сперва введем 2 системы координат: одна 3-мерная, из центра сферы, другая 2-мерная, связанная с плоскостью монитора:

Здесь L - длина изображения в пикселях, D - высота, что, впрочем, видно и по рисунку. Также здесь у нас появилась неизвестная H, которую надо бы найти. Рассекаем объекты с рисунка плоскостью xOy и, соединяя с началом координат края сечения монитора получим следующую картину:

Так как начало координат находится ровно над центром монитора, то мы получаем равнобедренный треугольник. Теперь можем из FOV-а (угла обзора) и длины изображения выразить неизвестную:

Изначально мы будем знать координаты точки в системе координат монитора (например, координата пикселя в Paint-е), поэтому из них определим координаты уже в системе Oxyz для некоторой точки:

Не забываем, что Oxyz находится над центром монитора

Теперь вернемся к исходной картинке, нанесем на плоскость точки A и B, которые будут границами нашего отрезка и проведем вектора из наблюдателя (нуля Oxyz) в эти точки:

Напомню, что эти векторы лежат на прямых, угол между которыми нужно найти. А значит нужно найти угол между векторами. Тут же напрашивается скалярное произведение этих векторов, поэтому не будем изобретать велосипед и воспользуемся им:

Вторая картинка - та же формула, но с записью обозначений, чтобы ее можно было сохранить и потом быстро ею воспользоваться

Ну и что ж, вот конечная формула. Определяем координаты пикселей, разрешение и угол обзора, подставляем в формулу и получаем угловой размер. Однако такая формула выглядит довольно громоздко, поэтому я решил написать небольшую консольную программу, которая сможет считать угловые размеры. Оставлю здесь ссылку для скачивания на Яндекс диск, а также код самой программы, вдруг кто захочет разобраться в ней:

Ну а на этом все, удачи вам в расчетах и вычислениях)