Одни кричат: "В третьем классе учили, что порядок операций такой!"
Другие: "Это в арифметике такие правила, а в алгебре опущенный знак умножения означает более высокий приоритет! Нотации в арифметике и алгебре разные!"
И те, и другие полагают, будто есть какие-то жестко заданные, явно описанные в учебниках "правильные" правила, и им надо следовать.
В действительности правило из третьего класса и правда в учебниках есть. Но тогда ученики используют только четыре операции и не опускают знак умножения.
А правила про приоритет опущенного знака умножения нет. Оно встречается в некоторых малоизвестных пособиях для педагогов, но не более того.
Начиная примерно с 7 класса, ученики постепенно сталкиваются со множеством операций, которые раньше не проходили, и с традициями записи, с которыми раньше не встречались, потому что вообще не считали подобных выражений. Причем сталкиваются не только на уроках математики, но и на физике и немного на других предметах.
Очевидные примеры: любой нормальный ученик поймет запись 2ax : 3bx как (2/3) * (a/b), а не как (2/3) * a*b*x^2. Во всех стандартных российских учебниках алгебры с царских времён до XXI века есть множество выражений именно в такой записи. Любой нормальный ученик поймет sin 2x как синус удвоенного икс, а не как синус двух радианов, умноженный на икс. Любой нормальный ученик понимает, что ln 10 - это натуральный логарифм от десяти, а не l * n * 10, хотя в школе не говорится, что логарифм, дескать, записывается прямым шрифтом, а переменные - косым. Дети привыкают к этому сами.
Ученики осваивают нотацию, которая нигде в явном, прескриптивном виде не задана. Нет учебников, которые говорили бы: "Записи следует трактовать так, а не иначе". Может, в каких-то правилах оформления некоторых научных журналов или в мало кем используемых отраслевых стандартах и есть, а в целом в математике - нет. Но к этой нотации привыкают все математически подкованные ребята и ею пользуются все математики и люди, занимающиеся вычислениями.
Так что разговоры из серии "в России приоритета опущенного умножения нет, а в США - есть, называется multiplication by juxtaposition" тоже ошибочны. Просто в англоязычном мире нашлось больше желающих заняться детально описывать математическую нотацию.
Есть некоторые отличия в нотациях, принятых в разных странах. Мы пишем ctg, американцы - cot, а некоторые греки - σφ. Французы отделяют дробную часть запятой, а китайцы - точкой. Где-то sin⁻¹ означает арксинус, а где-то - косеканс. Немцы пишут Sp, а англичане - Tr. В американской школьной нотации нельзя написать ∠ABC = 30°, а русское обозначение вектора со стрелочкой наверху американцы могут понять неправильно.
Но то, о чем тут идут споры, насколько мне известно, во всем мире математиками трактуется одинаково. Века полтора назад были приняты разные порядки операций, но теперь всё устаканилось по всему миру. Это не описывается ни простым правилом из российского учебника за 3 класс, ни английским BODMAS, ни даже усложнениями насчет juxtaposition.
Суть такая. Вот сложное математическое выражение, в котором фигурирует произведение. Это произведение по правилам из учебника 3 класса нужно заключить в скобки. Но если и так понятно, что несколько идущих подряд значков в выражении есть отдельное подвыражение, которое надо вычислять, и это подвыражение является произведением, то его часто записывают без скобок.
Чаще всего так поступают с делением на одночлен: ab : 4cde - тут 4cde - одночлен, подвыражение-произведение. Реже в учебниках и задачниках пишут ab/ 4c(d+e). Если у вас такой сложный знаменатель, возьмите дробную черту побольше, а еще лучше проведите горизонтальную дробную черту и запишите двухэтажную дробь.
Тем не менее, и такая запись тоже встречается в школьных задачниках, не говоря уже о научных статьях.
Главную роль здесь играет не опущенный знак умножения, а то, что сомножители визуально группируются вместе и отстоят от остального большого выражения.
Группироваться они могут по-разному. Самый распространённый подход - отбивать группу сомножителей пробелами. Именно здесь полезно опущение знака умножения: со знаком получаются лишние пробелы, группа визуально разбивается на несколько. Но первичны тут отступы, а не значок.
Собственно, исторически скобки - всего лишь способ отделить подвыражение от остальных частей выражения. Иногда достаточно пробелов, но чаще приходилось рисовать барьеры - скобки.
Иногда группировка семантическая. И так понятно, что в выражении
всё, что правее черты - знаменатель, даже если знак умножения не опущен.
И так понятно, что kT, νh, 4πεε₀ - это сомножители, даже если их отделили пробелами или даже знаком умножения.
q/4π•εε₀ всё равно будет прочитано как q/(4π•εε₀), а не (q/4π)•εε₀.
Поэтому поиск четких писаных правил, повышающих приоритет умножения без значка, бесполезен. Такого правила нет ни писанного, ни неписанного. Но математики его широко используют - по обстоятельствам, в зависимости от того, легко ли будет читателю понять выражение.
Тут разобраны примеры из стандартных школьных учебников, где делят на одночлен, не ставя его в скобки: Приоритет операций в математике: надоевший всем пример 6:2(1+2)
и приведен некоторый обзор литературы насчет умножения. Тот пост - ответ на еще один пост Ответ на пост «В 1912 году выпущена книга Принципы математики, люди в 2023 году» , в комментариях к которому приведено множество сканов из другой литературы, учебной и научной, русскоязычной и иностранной.
К этому применим формальный подход. Алгебраические выражения определяются в математике рекуррентно: любое число (цифрами) - выражение, любая переменная (буквой) - выражение, любое выражение в скобках - тоже выражение, любая запись вида выр1 + выр2, выр1 - выр2 и так далее - тоже выражение. Такой подход не только принят в формальной математике, он еще и прекрасно алгоритмизуется. Подвыражение-произведение часто не заключают в скобки, если читателю будет ясно, где границы этого подвыражения. Опущение знака умножения - лишь один из возможных способов обеспечить такую ясность.
