Лига математиков

Назовём дождливым слово в русском языке (это слово должно быть осмысленным), если, во-первых, все его буквы, стоящие на чётных местах, следуют в порядке убывания их номеров в алфавите, а во-вторых, все его буквы, стоящие на нечётных местах, также следуют в порядке убывания их номеров в алфавите. Например, таким словом является слово ШИНА (буквы на чётных позициях: И, А; на нечётных — Ш, Н; в обоих случаях присутствует убывающий порядок).

Дождливая Аня заметила, что слово СТРОПИЛА также является дождливым.

А существует ли дождливое слово, более длинное (по количеству букв), чем СТРОПИЛА?

(Можно использовать любой падеж и число, любые части речи.)

В классе, в котором учится Дождливая Аня, не более 40 человек, причём девочек больше, чем мальчиков.
Аня заметила, что количество девочек, которые учатся без троек (только на "5" и "4"), составляет более 69%, но менее 70% от количества всех девочек в классе. Аналогичная ситуация с мальчиками: более 69%, но менее 70% мальчиков учатся без троек (только на "5" и "4").
А без двоек учатся более 91%, но менее 92% всего класса.
Сколько девочек и сколько мальчиков в Анином классе?

Сорок чисел Дождливой Ани.

Дождливая Аня решила найти натуральное число, которое делится на количество своих делителей, причём любое число, получаемое из него отбрасыванием одной или нескольких последних цифр, обладает тем же свойством.

К своему удивлению, Аня нашла не одно, а целых сорок таких чисел:

1, 2, 8, 9, 12, 18, 24, 80, 84, 88, 96, 128, 180, 184, 240, 248, 804, 808, 880, 882, 1284, 1800, 1840, 2480, 2488, 8080, 8824, 18000, 18008, 24804, 24880, 80802, 88240, 180000, 180008, 180080, 180088, 1800080, 1800804, 1800880.

Докажите, что Дождливая Аня нашла все такие числа.

Дождливая Аня выписала последовательно в порядке возрастания все простые числа, не превышающие 100. В полученном числе Аня вычеркнула половину цифр так, чтобы оставшиеся выражали наименьшее возможное число.
В результате Аня получила число 11111113167717379838997.
Не ошиблась ли Дождливая Аня?

Натуральное число, каждая цифра которого — либо 6, либо 9, представимо в виде суммы кубов нескольких последовательных натуральных чисел. Какое наименьшее количество девяток может быть в таком числе?

На нескольких англоязычных сайтах фигурирует задача, в которой требуется найти следующее число в последовательности 1, 6, 20, 56, ...
Авторами, по всей видимости, подразумевалось продолжение ...144, однако у меня созрело другое и не менее красивое решение:
Назовём натуральное число привольным, если у него сумма нечётных делителей равна количеству всех делителей. Вот первые 22 привольных числа:

1, 6, 20, 56, 352, 480, 832, 2688, 4352, 9728, 13824, 47104, 67584, 71680, 184320, 319488, 475136, 1015808, 6684672, 7208960, 9699328, 12845056.

Как вам такое решение?
И как найти двадцать третье привольное число?