Мы прошли путь от натуральных чисел (ℕ), инструмента счёта дискретных объектов, к целым числам (ℤ), покорившим симметрию бытия: долги (-100$), холод (-15°C), обратные векторы движения. Рациональные числа (ℚ) научили нас делить целое: 3 яблока на 4 друзей (¾), ½ метра ткани, и помогли решить уравнение 2x = 1 (x = ½). Вещественные числа (ℝ) заполнили пробелы континуума: диагональ квадрата √2, длина окружности π, рост вклада e. Но:
Как описать ток в цепи конденсатора? Как смоделировать квантовую частицу? Как решить уравнение x² = -1?
Все предыдущие числа бессильны здесь, и наталкиваются на принципиальный барьер: уравнение x² + 1 = 0 не имеет решений в ℝ, волновые процессы (свет, звук) требуют двумерных величин, а квантовая суперпозиция не укладывается в вещественные координаты.
Ответом являются комплексные числа (ℂ).
Примечание: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ и ℂ— стандартные символы Юникода (exempli gratia, ℕ = U+2115), предназначенные специально для множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно. Использование данных символов исключает двусмысленность, вроде "...пусть N — натуральное число, тогда N ∈ N", что только запутает читателя.
В I веке н.э. Герон Александрийский в "Метрике" столкнулся с квадратным корнем из отрицательного числа при расчете пирамиды, но отбросил результат как "бессмысленный":
Таковая величина не может существовать среди действительных чисел.
Персидский математик Аль-Хорезми (IX век) в "Аль-Джабр" классифицировал квадратные уравнения, но для случаев вроде x² + 1 = 0 писал:
Отрицательное не имеет квадрата, ибо отрицательное не есть число.
Поворотный момент наступил в XVI веке. Джероламо Кардано в "Ars Magna" (1545 г.) формально записал корни кубического уравнения, и назвал их "софистическими" — "более тонкими, чем реальность":
x = ∛[10 + √(-108)] + ∛[10 - √(-108)]
Прорыв совершил Рафаэль Бомбелли в "Алгебре" (1572 г.). Для уравнения Кардано:
*x³ = 15x + 4 → x = ∛(2 + √-121) + ∛(2 - √-121)*
Он открыл правила мнимых операций:
√(-1) · √(-1) = -1 (+1)·[√(-1)] = +√(-1)
Рене Декарт (1637) в "Геометрии" ввел термин "мнимые числа" (nombres imaginaires), противопоставляя их "реальным":
Корни могут быть не всегда реальны, иногда — лишь воображаемы
Леонард Эйлер (1777) установил символ i для √-1 в письме к Лагранжу, и он же вывел формулу e^{iφ} = cos φ + i sin φ, связав анализ и тригонометрию:
Пусть √-1 обозначается буквой i
Каспар Вессель (1799) представил комплексные числа как векторы на плоскости:
"Направленная линия: длина a, угол θ с осью" Но его работа осталась незамеченной.
А Карл Фридрих Гаусс в работе "Theoria residuorum biquadraticorum" (1799) дал строгое определение:
ℂ = \{a + bi \mid a,b \in ℝ,\ i^2 = -1\}
В XIX век Уильям Гамильтон (1837 г.) формализовал комплексы как пары вещественных чисел:
Карл Вейерштрасс ввел символ ℂ (1893 г., лекции в Берлине), однако его лекции записывали ученики (Гурвиц, Фробениус), и в их конспектах комплексные числа часто обозначаются просто C (латиница) или K (от "komplex"), а не готической ℂ.
Эдмунд Ландау (1917) в книге "Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie" систематически использует ℂ для поля комплексных чисел. Однако Ландау всего лишь популяризовал уже ходивший в Гёттингенском университете (где работали и он, и Вейерштрасс раньше) символ.
Символ ℂ был стандартизирован группой Николя Бурбаки в "Элементах математики" (1939):
Обозначим через ℂ поле комплексных чисел — Livre II: Algèbre, Ch. 2, §1
Мы не можем отказать себе в удовольствии процитировать Давида Гильберта, провозгласившего:
Введение комплексных чисел [...] придает алгебре ее завершенность и совершенство. [...] Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто..
— Hilbert, D. Vorlesungen über Zahlentheorie (1912/13), bearbeitet von S. Gümbel, S. 62.
Полярной форме: z = r(cos φ + i sin φ) = re^{iφ} где r = √(a² + b²), *φ = atan2(b, a)*
Применение:
Решение *x² = -1* → x = ±i
Интеграл ∫e^{-x²}dx = √π (через методы ℂ)
Умножение на e^{iφ} → поворот вектора на угол φ
e^{iπ} + 1 = 0связь фундаментальных констант 0, 1, e, π, i.
Хотя переход к ℂ устраняет ключевой алгебраический дефект ℝ (разрешая x² = -1), он не преодолевает барьеры неполноты, установленные теоремой Гёделя. Любая достаточно богатая формальная система, способная выразить арифметику ℕ (а ℂ содержит ℕ как подмножество), будет либо неполной (существуют истинные, но недоказуемые утверждения), либо противоречивой. Комплексные числа, будучи алгебраически замкнутыми и метрически полными, остаются бессильны против логических пределов познания.
1. Проблема выразимости корней высших степеней
Почему корни многочлена x⁵ - x + 1 = 0 нельзя точно записать с помощью радикалов (ⁿ√, +, -, ×, ÷)? Фундаментальная теорема алгебры гарантирует 5 комплексных корней, но не даёт формулы для их выражения.
Уравнения степени ≤4 разрешимы в радикалах (например, x³ - 2 = 0 → x = ³√2), но для x⁵ - x + 1 = 0 общая формула отсутствует принципиально. Теорема Абеля-Руффини (1824): Для многочленов общей формы степени ≥5 не существует решения в радикалах.
2. Проблема идентификации трансцендентных чисел
Как доказать, что e^π — трансцендентное число, и почему для e + π это неизвестно? Трансцендентное число (∉ алгебраическому замыканию ℚ) не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами.
e^π (число Гельфонда) доказано трансцендентным (теорема Гельфонда–Шнайдера), но для e + π все попытки провалились. Нет алгоритма, определяющего трансцендентность произвольного z ∈ ℂ. Индивидуальные доказательства требуют глубокого анализа. Универсальный метод невозможен из-за бесконечного разнообразия чисел в ℂ.
3. Проблема критической линии дзета-функции
Почему гипотеза Римана (все нетривиальные нули ζ(s) лежат на Re(s) = 1/2) не доказана, несмотря на проверку триллионов нулей? Нули ζ(s) в полосе 0 < Re(s) < 1 — это точки на комплексной плоскости. Их положение связано с хаосом простых чисел в ℕ.
Контрпример — ноль вида 0.4 + i·t — немедленно опровергнет гипотезу. Но даже при |t| > 10³⁰ все нули упорно прилипают к линии Re(s)=0.5. Глубина аналитического аппарата ℂ недостаточна. Требуются принципиально новые связи между анализом и арифметикой.
4. Проблема алгоритмической неразрешимости для систем
Почему нельзя создать программу, определяющую, имеет ли система z₁² + z₂³ = 1, z₁z₂ = 2 решение в ℂ? Для одного уравнения алгоритм есть (ФТА), но для систем от двух переменных и выше ситуация меняется.
Простейшая система z₁² + 1 = 0, z₂² + 1 = 0 разрешима (z₁=±i, z₂=±i), но для z₁³ + z₂³ = z₁z₂ + k (k ∈ ℂ) не существует общего алгоритма проверки разрешимости. Теорема Мухина (1977): Проблема разрешимости диофантовых уравнений в ℂ для n≥2 переменных алгоритмически неразрешима.
5. Проблема вычислительной катастрофы
Почему мнимое число i·10^{-100} может "сломать" вещественные вычисления? Представление z = x + iy наследует проблемы вещественной арифметики: ошибки округления и неустойчивость.
Уравнение x² - 4x + 4 = 0 имеет корень x=2 (кратности 2). Но при ничтожном возмущении: x² - (4 + 10^{-10})x + 4 = 0 → корни 2 + 5·10^{-11} ± i·\sqrt{10^{-10}}. Малая погрешность в коэффициенте (10^{-10}) порождает катастрофическую мнимую компоненту (≈ 0.0003i), хотя исходно корни вещественны. Погрешности в ℝ и неадекватность моделей вычислений для ℂ делают точные результаты фикцией для сложных задач.
Комплексные числа (ℂ) служат базисом квантовой физики и электродинамики. Волновые функции (основа квантовой механики) записываются как Ψ = Re^{iθ}, где амплитуда R и фаза θ описывают состояние частицы. Уравнения Максвелла для электромагнитных полей требуют ℂ для компактной записи гармонических полей: E⃗ = E₀e^{i(ωt - kz)}. В криптографии на изогениях (SIDH, постквантовые алгоритмы) группы точек эллиптических кривых над ℂ обеспечивают стойкость к атакам.
Безусловно, комплексные числа (ℂ) не конечная позиция в иерархии чисел. Хотя ℂ алгебраически замкнуты (любой многочлен имеет корень), существуют уравнения, требующие более сложных систем. Для некоммутативных задач кватернионы (ℍ), для неассоциативных задач октонионы (𝕆), для альтернативной метрики p-адические числа (ℚₚ), для многомерной физики алгебры Клиффорда, для инфинитезималей гипердействительные числа (*ℝ).
Схема-маршрутизатор ключевых положений поста.
Wenn ℕ die Bausteine des Universums sind, ℤ die Gesetze des Gleichgewichts, ℚ die Kunst des Messens, ℝ das Gewebe der Kontinuität, dann ist ℂ — der Spiegel der mehrdimensionalen Realität, wo Algebra, Geometrie und Physik verschmelzen in der Harmonie von Eulers Formel:
e^{iπ} + 1 = 0
- Arithmomachia vonPaulus Preisghausen.
Наш главный приоритет - публикация качественного и достоверного материала. Каждая статья проходит многоэтапную проверку нашей командой. Важно: материалы нашего проекта носят исключительно информативный характер. Они не являются образовательным контентом и не заменяют академические источники.
Рациональные числа (ℚ) научили нас искусству деления целого: 3 яблока на 4 друзей (¾), ½ метра ткани, решение уравнения 2x = 1 (x = ½). Но мир не сводится к отношениям целого.
Как измерить диагональ единичного квадрата? Как описать длину окружности диаметром 1? Как выразить мгновенную скорость или непрерывный рост?
Рациональные числа бессильны перед лицом непрерывности, так как их дискретность оставляет бездонные пропасти между точками. √2 нельзя записать дробью, π и e выпадают из сетки p/q, а уравнение x²=2 не имеет корней в ℚ.
Добро пожаловать в мир непрерывного бытия вещественных чисел (ℝ).
Примечание: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ и ℂ— стандартные символы Юникода (exempli gratia, ℕ = U+2115), предназначенные специально для множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно. Использование данных символов исключает двусмысленность, вроде "...пусть N — натуральное число, тогда N ∈ N", что только запутает читателя.
Древний мир столкнулся с загадкой непрерывности через геометрию. Пифагорейцы (V в. до н.э.), открыв иррациональность √2, пытались скрыть это:
Гиппас из Метапонта был изгнан за доказательство, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной — Ямвлих, "О пифагорейской жизни".
Это было связано с тем, что пифагорейцы обожествляли целые числа и их отношения. Их доктрина гласила:
Всё сущее есть число,
подразумевая, что любую величину (длину, площадь, гармонию) можно выразить дробью p/q. Открытие, разрушившее эту веру, возникло при изучении диагонали квадрата со стороной 1. оказалось, что никакая дробь не укладывается точно ни в диагональ, ни в сторону. Гиппас предположил, что 2=pq2=qp (дробь несократима). Тогда:
p² = 2q²
Отсюда:
p² чётно → p чётно → p = 2k → 4k² = 2q² → q² = 2k² → q чётно.
Дробь оказалась сократимой. Пифагорейцы назвали такие числа "алогон" (невыразимое).
Античный ответ дал Евдокс Книдский (IV в. до н.э.). В "Началах" Евклида (Книга V) он создал теорию пропорций для величин любой природы:
Говорят, что величины находятся в том же отношении a:b = c:d, если равны их кратные: m·a > n·b ⇔ m·c > n·d.
Средневековый Восток приблизился к идее предела. Ал-Каши (XV в.) в "Ключе арифметики" вычислял π с 16 знаками, разбивая окружность на 805 306 368 частей.
Длина полуокружности диаметра 1 есть 3;1415926535897932...
Для этого он вписал в окружность правильный многоугольник с 805 306 368805306368 сторонами, последовательно удваивая число сторон и вычисляя длину каждой новой стороны через предыдущую:
a₂ₙ = √(2 - √(4 - aₙ²)), где aₙ — сторона n-угольника.
Результат записал как: π ≈ 3;8 29 44 0 47 25 53 7 25 (в шестидесятеричных долях). Стоит отметить, что его метод предвосхитил интегральное исчисление.
Перелом наступил в XVII веке. Бонавентура Кавальери в "Геометрии неделимых" (1635) представлял площади как суммы бесконечно тонких линий:
Фигура — ткань из всех своих сечений, как ткань — из нитей.
Exempli gratia: необходимо вычислить площадь круга радиуса R. Для этого круг разрезается на n бесконечно тонких колец толщиной dx. Площадь кольца на расстоянии x от центра:
dA = 2π√(R² - x²) dx.
Суммируя:
A = ∫₋ᵣᴿ 2π√(R² - x²) dx = πR².
Ньютон в "Методе флюксий" (1671) пошел дальше:
Величины исчезающе малые суть пределы отношений приращений.
Флюэнта (x) — изменяющаяся величина (например, координата). Флюксия (ẋ) — скорость изменения (производная).
ẋ = lim_{h→0} [x(t+h) - x(t)] / h.
XIX век дал ℝ аксиоматический фундамент. Рихард Дедекинд в "Непрерывность и иррациональные числа" (1872) ввел сечения:
Если все рациональные числа разбиты на два класса так, что каждый элемент первого класса меньше любого элемента второго — это сечение определяет вещественное число.
Его современник, Георг Кантор, построил ℝ через фундаментальные последовательности:
Число есть класс эквивалентности последовательностей Коши в ℚ.
А Карл Вейерштрасс, в свою очередь, завершил процесс:
Вещественные числа суть полное архимедово упорядоченное поле.
До XX века вещественные числа не имели универсального символа. В трудах Коши (1821) они назывались quantités, у Вейерштрасса (1860-е) reelle Zahlen, у Гильберта (1899) kontinuum. Перелом наступил в 1939 году, когда группа французских математиков под псевдонимом Николя Бурбаки выпустила IV том "Éléments de mathématique".
Обозначим через ℝ совершенное тело, порожденное топологией прямой — Элементы математики, Т. IV.
ℝ от "réel, "вещественный", в противовес ℂ, "complexe".
В лекции "О бесконечном", в 1925 году, Давид Гильберт, защищая теорию множеств Кантора от критики математиков0интуицинистов, вроде Л. Э. Я. Брауэра, сказал:
Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
Вещественные числа (ℝ) строятся как пополнение рациональных чисел, заполняющее принципиальные пробелы в числовой прямой. Основными конструкциями являются:
Сечения Дедекинда (1872):
ℝ = { разбиения ℚ на два непустых класса (A, B) | ∀a∈A, ∀b∈B: a < b }.
Аксиомы алгебраической структуры (наследуются от ℚ):
Сложение — абелева группа:
Ассоциативность: (a+b)+c = a+(b+c)
Нулевой элемент: a+0 = a
Противоположный элемент: a + (-a) = 0
Умножение (ℝ{0}) — абелева группа:
Обратный элемент: a · a^{-1} = 1
Дистрибутивность: a · (b+c) = a·b + a·c
Аксиомы порядка:
Трихотомия: ∀a,b ∈ ℝ: (a < b) ∨ (a = b) ∨ (a > b)
Монотонность:
a < b ⇒ a + c < b + c
a < b, c > 0 ⇒ a·c < b·c
Аксиома полноты (ключевое отличие!):
Всякое непустое ограниченное сверху множество A ⊂ ℝ имеет sup A.
Пример:A = {x ∈ ℚ | x² < 2} имеет sup A = √2 ∉ ℚ.
Геометрический смысл
Непрерывная числовая прямая: каждой точке прямой взаимно однозначно соответствует вещественное число.
Континуум: мощность |ℝ| = 2^{ℵ_0} (несчётное множество), тогда как |ℚ| = ℵ_0 (счётное множество).
Вещественные числа (ℝ) связаны с рациональными (ℚ) через вложение (f: ℚ → ℝ, f(r) = [{r, r, r, ...}]) и плотность (∀a,b ∈ ℝ (a < b) ∃r ∈ ℚ: a < r < b)
Пример: между √2 ≈ 1.414 и 1.415: 1.4145 = 2829/2000.
Расширение до вещественных чисел решило проблемы ℚ с корнями уравнений и пределами, однако это не устраняет принципиально новые вызовы:
Во-первых, почти все вещественные числа не имеют алгоритмического описания: вычислимые числа (задаваемые программой) образуют счётное множество (|выч. чисел| = |ℕ| = ℵ₀) и мощность ℝ — континуум (|ℝ| = 2^{ℵ₀}) приводит к тому, что ⇒ >99.9% чисел в ℝ не выразимы формулами, не вычислимы на практике.
Пример:
Константа Ω (Хайтина):
Ω = ∑_{p останавливается} 2^{-|p|} определена, но её биты невозможно вычислить.
Во-вторых, невозможно создать корректную универсальную запись из-за неединственности (0.999... = 1.000... (дуализм в десятичной системе)), неполноты (в любой системе счисления большинство чисел требуют бесконечных дробей: 1/3 = 0.333..._{10} = 0.010101..._2) и парадокса: число π нельзя точно записать даже в системе счисления с иррациональным основанием.
В-третьих, для чисел, заданных алгоритмически,
a = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}, \quad b = \int_0^1 e^{-x^2} dx
не существует алгоритма, проверяющего a = b, поэтому открыт вопрос об иррациональности e + π (хотя доказано, что min(e+π, e·π) иррационально).
В-четвёртых, любая аксиоматизация ℝ (напр., теория вещественно замкнутых полей) неполна, так как существуют утверждения вида:
∀x ∈ ℝ \ (P(x) = 0 ⇒ Q(x) > 0)
которые недоказуемы и неопровержимы.
Пример: гипотеза Континуума (2^{ℵ₀} = \aleph_1) независима от ZFC.
В-пятых, простые действия становятся неразрешимыми:
Сравнение: Для вычислимых a, b задача a < b не имеет общего алгоритма.
Контрпример:\int_0^1 \frac{\sin x}{x} dx = \text{Si}(1) — значение неизвестно.
В-шестых, при аксиоме выбора существуют неизмеримые множества, exempli gratia построение Витали: разбиение [0,1] на сдвиги по ℚ ∩ [-1,1]. Невозможно определить длину таких множеств, что ставит под сомнение применимость ℝ в физике.
В-седьмых, большинство чисел в ℝ трансцендентны. Известно примерно 50 таких чисел (e.g., e, π, e^\pi). Нет алгоритма проверки трансцендентности для выражений: \alpha = \pi + e, \quad \beta = \pi^{\sqrt{2}}. Неизвестно, является ли \zeta(5) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5} иррациональным.
1. Гипотеза континуума
Верно ли, что между мощностью натуральных чисел (ℵ₀) и мощностью континуума (|ℝ| = 2^{ℵ₀}) нет промежуточных мощностей?
Доказана независимость от аксиом ZFC (Коэн, 1963). Пример: Множество всех подмножеств ℕ имеет мощность 2^{ℵ₀}, но неизвестно, равно ли это ℵ₁. Проблема возникает из-за несчётности ℝ — свойства, отсутствующего в ℚ.
2. Существование неизмеримых множеств
Существуют ли подмножества [0,1] ⊂ ℝ, для которых невозможно определить длину?
Доказано, что в ZFC такие множества существуют (из-за аксиомы выбора). Пример: Множество Витали выбираем по одному элементу из каждого класса эквивалентности x ∼ y ⇔ x-y ∈ ℚ. В ℚ все множества измеримы, так как оно счётно. Неизмеримость является следствием континуума.
3. Неразрешимость равенства вычислимых чисел
Можно ли алгоритмически проверить равенство двух чисел, заданных формулами?
Для элементарных функций задача неразрешима. Пример: Пусть a = ∫_0^1 e^{-x^2} dx, b = √π/2 · erf(1). Доказать a = b алгоритмически невозможно. В ℚ равенство проверяется сравнением p/q = r/s ⇔ p·s = q·r.
4. Трансцендентность чисел
Существует ли алгоритм, определяющий, является ли произвольное вещественное число трансцендентным (не корнем многочлена с целыми коэффициентами)?
Нет общего алгоритма (даже для чисел вида e^π, π^e). Пример: Число e^π трансцендентно (теорема Гельфонда), но для e^e или π^π это неизвестно. В ℚ все числа алгебраические степени 1.
5. Проблема распознавания сходимости
Можно ли алгоритмически определить, сходится ли произвольный несобственный интеграл?
Неразрешима. Даже для интегралов вида ∫_a^b f(x) dx, где f(x) — элементарная функция. Пример: Интеграл ∫_1^∞ sin(x^2) dx сходится, но автоматически это не докажешь. В ℚ нет аналогов несобственных интегралов.
Вещественные числа (ℝ) — это фундамент квантовой механики (уравнение Шрёдингера iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ), теории относительности и криптографии, но их ограниченность проявляется в неразрешимости уравнения x² = -1, что вынуждает перейти к комплексным числам ℂ = {a + bi | a,b ∈ ℝ, i = √-1}, где ℂ становится языком квантовых вычислений (кубиты |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ ∈ ℂ²), электротехники (импеданс Z = R + iX), обработки сигналов (преобразование Фурье) и фрактальной геометрии (Множество Мандельброта z_{n+1} = z_n² + c), объединяя алгебру, анализ и геометрию в формуле Эйлера e^{iπ} + 1 = 0.
Вещественные числа (ℝ) всего лишь четвёртая ступень, но уравнение
x² = -1
неразрешимо в ℝ, что требует расширения до комплексных чисел ℂ = {a + bi | a,b ∈ ℝ, i = √-1}.
Наш главный приоритет - публикация качественного и достоверного материала. Каждая статья проходит многоэтапную проверку нашей командой. Важно: материалы нашего проекта носят исключительно информативный характер. Они не являются образовательным контентом и не заменяют академические источники.
Мы прошли путь от натуральных чисел (ℕ) — инструмента счёта дискретных объектов — к целым числам (ℤ), покорившим симметрию бытия: долги (-100$), холод (-15°C), обратные векторы движения. Однако:
Как разделить 3 яблока на 4 друзей? Как отмерить ⅔ метра ткани или ½ ампер-часа энергии?
Мир не состоит только из целых объектов и операций, и целые числа бессильны там, где целое дробится на части. Их жёсткие границы рушатся перед проблемой точного деления — операции, чей результат не вписывается в узкие рамки ℤ.
Рациональные числа (ℚ) — логичный ответ на вызовы реальности: дроби стали универсальным языком долей (3/4 яблока, 1/2 пути), решили ранее неразрешимые уравнения (2x = 1 → x = 1/2) и добавили непрерывность внутри дискретности.
Примечание: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ и ℂ— стандартные символы Юникода (exempli gratia, ℕ = U+2115), предназначенные специально для множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно. Использование данных символов исключает двусмысленность, вроде "...пусть N — натуральное число, тогда N ∈ N", что только запутает читателя.
Древний мир заложил основы дробей через практические нужды. В Египте (1650 г. до н.э.) папирус Ахмеса содержал задачи на аликвотные дроби — суммы вида 1/n.
Разделить 7 хлебов на 10 человек. Ответ: ½ + ⅕
Дроби записывались иероглифом "рта" (𓂋) над числом: 𓂻𓏤 = 1/4.
Вавилоняне (1800 г. до н.э.) использовали шестидесятеричные дроби в астрономии: табличка Plimpton 322 показывает диагональ квадрата как 1;24,51,10 (≈√2). В Индии (III в. до н.э.) "Шульба-сутры" описывали дроби a/b (дроби-раши), а Брахмагупта в VII веке формализовал правила:
Сумма дробей: числители сложи, знаменатели умножь — "Брахмаспхута-сиддханта", гл. 12.
Античность пережила кризис, когда математика столкнулась с иррациональностью. Пифагорейцы (V в. до н.э.) верили, что всё сущее есть отношение целых чисел. Открытие Гиппасом иррациональности √2 вызвало удивление:
Пифагор приказал утопить Гиппаса, ибо доказал он то, чего не должно быть: число диагонали невыразимо дробью — Ямвлих, "О Пифагоровой жизни".
Ответом Евклида стала строгая теория пропорций в "Началах" (III в. до н.э.):
Числа a и b пропорциональны c и d, если a·d = b·c
(аксиома эквивалентности пар для ℚ).
Средневековый Восток и Европа разработали символику рациональных чисел. Аль-Хорезми (IX в.) в "Китаб аль-Джабр" ввёл арабский термин "каср" (дробь):
Дробь — часть единицы, записанная как числитель над знаменателем.
Фибоначчи (1202 г.) в "Книге абака" популяризировал дроби в Европе, записывая 2 3 для ²⁄₃:
Число ²⁄₃ зовётся двумя третями и означает: взять две части из трёх.
Научная революция XVI-XVII веков возвела ℚ в ранг универсального инструмента. Симон Стевин в трактате "Десятина" (1585 г.) доказал мощь десятичных дробей:
3@1@7@5 столь же совершенно, как 3175, ибо каждый знак после @ есть десятая часть предыдущего
(здесь @ — прообраз десятичной запятой). Ньютон в "Методе флюксий" (1671 г.) использовал рациональные дроби для описания производных:
Флюксия отношения двух величин равна отношению их флюксий
XIX век дал ℚ строгую алгебраическую основу. Рихард Дедекинд определил рациональные числа как фактор-множество пар целых чисел:
ℚ = { (a,b) | a ∈ ℤ, b ∈ ℤ\{0} } / ~, где (a,b) ~ (c,d) ⇔ a·d = b·c
Его работа включила ℚ в теорию полей — структур с замкнутыми операциями +, −, ×, ÷. Ключевым свойством стала бесконечная плотность:
Между любыми p/q и r/s найдётся дробь (p+r)/(q+s).
Как писал Дедекинд:
ℚ подобно роялю, на котором можно сыграть многие мелодии, но не все.
- Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872
Именно эти ограничения откроют дорогу к вещественным числам — следующей ступени великой иерархии.
Символ ℚ ввёл Гастон Жюлиа (1930-е гг.) в честь итал. quoziente ("частное"):
Обозначим через ℚ множество всех отношений p\q, где p,q — целые, q≠0 - Julia G. Cours d’analyse. Tome III. Théorie des nombres (1938). Archives du Collège de France, cote F-G-68.
4. Обратный элемент: ∀a ∈ ℚ (a ≠ 0) ∃ a⁻¹ ∈ ℚ: a · a⁻¹ = 1
Дистрибутивность
∀a,b,c ∈ ℚ: a·(b+c) = a·b + a·c
В отличие от ℤ, в ℚ есть обратные по умножению (для a ≠ 0), нет аналога аксиомы индукции и ZZ вкладывается в QQ как подмножество: a∈Z↦a1a∈Z↦1a.
Чтобы ввести линейный порядок, добавляют:
Трихотомия: ∀a,b ∈ ℚ верно ровно одно: a < b, a = b, a > b.
Монотонность сложения: a < b ⇒ a + c < b + c.
Монотонность умножения: a < b и c > 0 ⇒ a·c < b·c.
Пример: 1/2 < 2/3, так как 2/3 - 1/2 = 4/6 - 3/6 = 1/6 > 0.
Целые числа отождествляются с подмножеством ℚ через отображение:
f: ℤ → ℚ, где f(a) = a/1
f(a + b) = f(a) + f(b) = a/1 + b/1,
f(a * b) = f(a) * f(b) = (a/1) * (b/1).
Расширение до рациональных чисел решает фундаментальные алгебраические проблемы ℤ, но не преодолевает барьеры, установленные теоремой Гёделя о неполноте.
Во-первых, уравнение b·x = a разрешимо в ℚ для любых a, b ∈ ℤ (b ≠ 0).
Пример: 2x = 1 → x = 1/2 (в ℤ решение отсутствует).
Во-вторых, между любыми двумя рациональными числами лежит бесконечно много других рациональных чисел.
Пример: Между 1/2 и 2/3 есть 3/5, 5/8, и т.д.
В-третьих, в тоже время гипотезы о свойствах ℕ (например, проблема Гольдбаха) остаются неразрешимыми в рамках ℚ.
В-четвёртых, хотя ℚ "простая" структура (счётное поле), она так же приводит к глубоким проблемам:
1. Существование иррациональных чисел
Доказать, что √2 ∉ ℚ. Первое свидетельство неполноты ℚ: даже алгебраические числа (корни многочленов) не всегда лежат в ℚ.
Доказательство от противного. Если (p/q)^2 = 2, то p^2 = 2q^2. Это противоречит единственности разложения на простые множители в ℤ.
Примечание: мы углубимся в трансцендентную природу иррациональных чисел в последующих пунктах.
2. 10-я проблема Гильберта для ℚ
Существует ли алгоритм, определяющий, имеет ли диофантово уравнение решение в рациональных числах?
Для произвольного многочлена P(x₁, ..., xₙ) с целыми коэффициентами, можно ли алгоритмически проверить существование корней в ℚ?
Доказано (Ю. Матиясевич, Дж. Робинсон, 1970-е), что проблема неразрешима.
Пример: Уравнение x^n + y^n = z^n имеет решения в ℚ при n=1,2, но при n>2 их нет (Великая теорема Ферма).
3. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайер (BSD)
Ранг эллиптической кривой над ℚ равен порядку нуля L-функции в точке s=1.
Контекст: Кривая задаётся уравнением y² = x³ + ax + b с a, b ∈ ℚ. Одна из "Проблем тысячелетия". Даже для кривых ранга 0 и 1 гипотеза не доказана. Проблема касается поиска рациональных точек на кривой — центральная задача арифметической геометрии.
Примечание: вℤ BSD подчёркивает алгоритмическую неразрешимость предсказания существования решений (пример гёделевской неполноты через диофантовы уравнения), в то время как в ℚ BSD акцентирует фундаментальную недоказуемость структуры бесконечных множеств (групп), определённых простыми уравнениями.
4. Проблема конечности множества решений
Имеет ли диофантово уравнение конечное число решений в ℚ?
Для уравнений вида y^2 = x^3 + k (k ∈ ℤ) доказано, что множество рациональных решений конечно (теорема Сигеля, 1929 г.).
Но нет общего алгоритма для произвольного многочлена.
5. Алгоритмическая сложность арифметики ℚ
Можно ли эффективно сравнить два рациональных числа?
Хотя сравнение a/b > c/d сводится к проверке a·d > b·c в ℤ, операции в ℚ неэффективны для больших чисел:
Сложение требует умножения знаменателей,
Сокращение дроби требует нахождения НОД (алгоритм Евклида).
Вычисление 1234567/9876543 + 876543/1234567 приводит к числам с 14 знаками.
Рациональные числа (ℚ) — служат основой для алгоритмов на эллиптических кривых (ECC), обеспечивающих защиту интернета и блокчейн-систем (Биткоин, Ethereum), целиком основанных на арифметике рациональных точек. Постквантовая криптография (PQC) исследует алгебраические многообразия, определённые над ℚ, требуя точных вычислений с рациональными числами. В прикладных областях, финансовом моделировании, инженерных расчётах (метод конечных элементов) и физическом моделировании (решёточные газы), ℚ выступает стартовой базой для точного представления величин перед переходом к вещественным (ℝ) приближениям.
Рациональные числа (ℚ) — всего лишь третья ступенька в иерархии. Уравнение
x² = 2
неразрешимо в рациональных числах. Это приведёт нас к вещественным числам (ℝ), мосту между дискретностью и континуумом.
Наш главный приоритет - публикация качественного и достоверного материала. Каждая статья проходит многоэтапную проверку нашей командой. Важно: материалы нашего проекта носят исключительно информативный характер. Они не являются образовательным контентом и не заменяют академические источники.
Мы прошли первую ступень этой иерархии, мир натуральных чисел (ℕ), идеальных для счета дискретных объектов. Но реальность богаче наших представлений о ней: она требует учета не только наличия, но и отсутствия, не только роста, но и убыли, не только движения вперед, но и направления назад. Натуральные числа с их ограниченностью a - b, где a > b, оказались недостаточными для описания всего спектра человеческого опыта и научных задач.
Продолжая наше путешествие по иерархии чисел ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ, мы вступаем в царство целых чисел (ℤ). Это мир, расширяющий горизонты ℕ, включая в себя не только положительные величины, но и их зеркальные отражения, отрицательные числа, а также важнейший символ пустоты и равновесия — ноль.
Примечание: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ и ℂ— стандартные символы Юникода (exempli gratia, ℕ = U+2115), предназначенные специально для множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно. Использование данных символов исключает двусмысленность, вроде "...пусть N — натуральное число, тогда N ∈ N", что только запутает читателя.
Мир натуральных чисел (ℕ), мир счёта, сложения и умножения, казался древним математикам полным и самодостаточным. Однако сама жизнь ставила задачи, которые ℕ решить не могли:
Как выразить долг? Как формализовать убыль? Как решить уравнение x + 5 = 3?
Ответом стало появление целых чисел (ℤ), расширивших ℕ включением отрицательных чисел и нуля как полноценного объекта:
ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
Практические истоки целых чисел находятся в древних цивилизациях. В Китае эпохи Хань (200 г. до н.э.) трактат "Цзючжан Суаньшу" ввёл палочки двух цветов: красные для прибыли (正), чёрные для долга (負). Запись 赤三 黑五 (красные 3, чёрные 5) означала чистый долг в 2 единицы — прообраз -2.
В Индии V-VII вв. Брахмагупта в "Брахмаспхута-сиддханте" формализовал ноль и арифметику:
"...имущество" (дхана) + "долг" (рина) = их разность,
Произведение двух "долгов" (-a × -b) = "имущество" (+ab).
Хотя его попытка определить 0/0 = 0 была ошибочна, это смело расширило горизонты. Через исламский мир (аль-Хорезми, VIII-IX вв.) эти идеи достигли Европы, но встретили сопротивление.
Декарт в XVII веке называл отрицательные корни "ложными",
...но часто случается, что некоторые из этих корней ложны или меньше, чем ничто. La Géométrie, 1637
а Паскаль отвергал вычитание 4 из 0 как абсурд:
...я понимаю, что можно обозначить долг знаком минус [...], но как можно представить величину меньшую, чем ничто? Lettres de Pascal à Fermat, 1654
Современник Паскаля, английский математик Джон Валлис, парировал: "...если кто-то не может понять, как -5 может быть меньше нуля, пусть представит термометр: температура ниже нуля действительно существует".
Перелом наступил лишь когда координатная прямая Декарта дала отрицательным числам геометрическую интерпретацию: точки левее нуля.
..и чтобы отличать эти равные, но противоположные по знаку числа, если корни истинные [положительные], я пишу их сразу после с знаком +; а если ложные [отрицательные], то с знаком -.
La Géométrie, 1637
Философский триумф целых чисел состоялся в XVIII-XIX веках. Леонард Эйлер в трудах по алгебре легитимировал операции с отрицательными числами,
Следовательно, ясно, что произведение -a на -b должно быть таким же, как произведение a на b, а именно +ab. ... Следовательно, если говорят, что -3 умножить на -4 дает +12, то это верное правило.)
Vollständige Anleitung zur Algebra, 1770
а Уильям Гамильтон включил ℤ в структуру коммутативного кольца (термин "коммутативное кольцо" появился позже, в 1897 у Д. Гильберта "Zahlbericht", формализован в 1921 Э. Нетёр "Idealtheorie in Ringbereichen" и устоялся в 1930 Б. ван дер Варденом "Moderne Algebra"), где каждое число имеет противоположное (a + (-a) = 0), а ноль стал нейтральным элементом (a + 0 = a, a × 0 = 0).
Ключевой скачок был не в символах, а в качественном преодолении ограничений ℕ:
1) Уравнение x + a = b разрешимо при любых a, b,
2) Появилась симметрия (-a как "зеркало" a),
3) Числа абстрагировались от контекста: -5 — не только долг, но и температура, смещение, заряд.
Как подчеркнул Герман Ганкель, это воплотило "принцип перманентности": законы ℕ сохранились при расширении до ℤ.
Если две формы, выраженные в общей арифметике, равны, то они должны оставаться равными и тогда, когда входящие в них символы перестают обозначать простые величины, и, следовательно, операции приобретают более общее содержание.
Законы арифметических операций, установленные для исходной системы чисел, должны сохраняться при любом их расширении, если только это не ведёт к противоречиям.
Объясним суть принципа на практике:
Возьмём сходный закон для ℕ, exempli gratia, дистрибутивность: a × (b + c) = a×b + a×c.
Расширение до ℤ:
При добавлении отрицательных чисел и нуля возник ключевой вопрос:
Как определить операции для новых объектов, чтобы старые правила не рухнули?
Пример с умножением:
Для натуральных 3 × 2 = 6.
Чтобы сохранить дистрибутивность в ℤ, пришлось принять:
Так дистрибутивность потребовалаположительное × отрицательное = отрицательное.
Принцип работает, только если новые объекты не создают парадоксов. Например, в ℤ сохранилось a × 0 = 0, но деление на ноль запрещено — оно разрушает структуру (1 = 2 и т.д.).
В прошлом посте мы обещали рассмотреть историю нуля подробнее. История нуля, напомним, началась с ранних форм-заполнителей пустоты (с 3000 г. до н.э.). Вавилоняне использовали двойной клин (˅˅) в шестидесятеричной системе (например, 1˅˅3 = 1×60² + 0×60 + 3), но это был лишь символ пропуска разряда, а не число.
Майя в I в. н.э. применяли знак-ракушку в двадцатеричном календаре для обозначения "начала" (день 0) и бесконечности, но не использовали его в вычислениях.
Древние Китай и Египет оставляли пустые места в записях (например, 4‿5 для 405), не создавая отдельного символа.
Революция произошла в Индии (III–IX вв.). В манускрипте Бакхшали (III–IV вв.) обнаружен древнейший символ нуля — жирная точка (●), служившая заполнителем в расчётах. Математик Брахмагупта в 628 г. в труде "Брахмаспхута-сиддханта" впервые определил ноль как число:
a + 0 = a, a − 0 = a,
a × 0 = 0,
0 ÷ a = 0 (деление на ноль он назвал "бесконечностью").
Символ превратился в кружок с именем "шунья" (санскр. "пустота"). Через арабов (Аль-Хорезми, IX в.) система распространилась в Европу: арабское "сыфр" (صفر) дало термины "цифра" и "шифр", а итальянцы преобразовали его в "zero".
В Европе (XII–XVII вв.) ноль встретил сопротивление.
В 1299 году Флоренция издала закон, полностью запретивший использование арабских цифр (включая ноль) в официальных документах, бухгалтерии и торговых записях. Арабские цифры легко поддавались исправлениям: например, 10 можно было превратить в 100 добавлением нуля, а 1 — в 7 или 9 минимальными правками. Власти требовали писать числа только словами или римскими цифрами, поскольку подделать текст было сложнее.
Церковь объявила его "дьявольским", ссылаясь на Аристотеля, отрицавшего пустоту. Однако купцы тайно использовали ноль в расчётах, а Фибоначчи в 1202 г. описал его в "Книге абака". К XV веку с развитием книгопечатания ноль узаконился. Научный прорыв совершил Декарт в XVII веке, сделав ноль началом координат в системе осей (x, y), что заложило основы аналитической геометрии и матанализа.
Хотя аксиомы Пеано описывают натуральные числа (ℕ), целые числа (ℤ) требуют более сложной структуры. Их можно построить двумя путями: расширением ℕ или независимой аксиоматизацией. Рассмотрим оба подхода.
1. Построение ℤ из ℕ через классы эквивалентности
Целые числа формально определяют как упорядоченные пары натуральных чисел (разность как абстракция):
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c.
Пример: (5, 3) ∼ (2, 0), так как 5 + 0 = 3 + 2 → обе пары кодируют число 2. Или (3, 5) ∼ (0, 2) → кодируют -2. Ноль: класс пар вида (a, a) (например, (4, 4) = 0).
Операции:
Сложение: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d),
Умножение: (a,b) × (c,d) = (ac+bd, ad+bc).
(5,3) (это 2) + (3,5) (это -2) = (8,8) = 0.
2. Аксиоматизация как коммутативного кольца
ℤ можно задать аксиомами алгебраической структуры (кольца). Основные аксиомы:
В ℤ есть симметрия (для каждого элемента существует противоположный), нет аксиомы индукции (она заменяется структурой кольца) и ℤ содержит ℕ как подмножество натуральных чисел (1, 2, 3, ...).
Отдельно отметим аксиомы порядка для ℤ
Чтобы ввести сравнение целых чисел, добавляют:
Трихотомия: ∀a,b ∈ ℤ верно ровно одно: a < b, a = b, a > b.
Монотонность сложения: a < b ⇒ a + c < b + c.
Монотонность умножения: a < b ∧ c > 0 ⇒ a·c < b·c.
-5 < 3, так как 3 - (-5) = 8 > 0.
Как ℕ вкладывается в ℤ?
Существует изоморфное вложениеf: ℕ → ℤ, сохраняющее операции:
f(0_ℕ) = 0_ℤ,
f(S(n)) = f(n) + 1.
Так натуральные числа становятся подмножеством ℤ:
ℕ = {0, 1, 2, ...} ⊂ ℤ.
Введение целых чисел (ℤ) расширяет арифметику натуральных чисел (ℕ), но не преодолевает принципиальные ограничения, установленные теоремой Гёделя о неполноте. Рассмотрим причины.
Во-первых, почему ℤ не "сильнее" ℕ для теоремы Гёделя? Целые числа строятся из натуральных через классы эквивалентности пар (например, (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c). Любое утверждение о ℤ можно выразить в терминах ℕ. Если система аксиом для ℕ (Пеано) неполна, то её расширение до ℤ, основанное на тех же принципах, также будет неполным. Теорема Гёделя применима ко всем системам, содержащим арифметику ℕ.
Утверждение "...машина Тьюринга с номером n не останавливается на пустом вводе":
Формулируется через номера алгоритмов (n ∈ ℕ),
Остаётся недоказуемым в аксиомах Пеано и, следовательно, в ℤ, так как ℤ определяется через ℕ.
Во-вторых, однако, расширение до целых чисел решает конкретные алгебраические проблемы, но не затрагивает "неуловимость" гёделевских утверждений:
Разрешимость уравнений:
В ℤ всегда есть решение для x + a = b (где a, b ∈ ℤ), что невозможно в ℕ.
Недоказуемость мета-утверждений:
Гипотезы о свойствах ℕ (например, о распределении простых чисел) остаются за пределами формальных систем.
В-третьих, как и для натуральных чисел, так и для целых существуют принципиальные задачи или парадоксы, демонстрирующие сложность данной числовой системы.
1. Уравнение Пелля (x² - dy² = 1) и его фундаментальные решения
Для данного неквадратного целого d > 1, найти все целочисленные решения (x, y) уравнения x² - dy² = 1.
Пара (x, y) ищется именно в целых числах. Уравнение тривиально в ℝ, но его решения в ℤ обладают глубокой структурой.
Хотя известно, что существует бесконечно много решений (фундаментальное решение порождает их все алгоритмически), нахождение самого фундаментального решения для произвольного d не имеет известной эффективной формулы. Его "размер" (величина x и y) может быть астрономически огромным даже для умеренных d, что делает проблему вычислительно трудной. Задача упирается в тонкую арифметику колец целых алгебраических чисел, выходящую за рамки элементарной арифметики ℤ.
2. Проблема остановки для целочисленных линейных программ
Можно ли определить (алгоритмически или в рамках арифметики ℤ), остановится ли программа, которая на каждом шаге вычисляет значение линейного полинома с целыми коэффициентами от целочисленных переменных и проверяет условие вида P(x₁, x₂, ..., xₙ) >= 0 для перехода?
Переменные, коэффициенты, условия — все целочисленно. Это ограниченный, но важный класс программ, работающих исключительно с целыми числами и линейными операциями.
Проблема остановки даже для этого подкласса программ алгоритмически неразрешима. Это следствие неразрешимости общей 10-й проблемы Гильберта (доказанной Матиясевичем). Не существует алгоритма (и, следовательно, не может быть доказательства в достаточно сильной формальной системе, охватывающей ℤ), которое для любой такой программы и любого начального состояния целочисленных переменных корректно ответило бы, достигнет ли программа состояния остановки. Это конкретная неразрешимая проблема, живущая внутри ℤ.
3. Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайер (BSD)
Гипотеза глубоко связывает алгебраические свойства (ранг) эллиптической кривой, заданной уравнением y² = x³ + ax + b с целыми коэффициентамиa, b (и дискриминантом без квадратов), с аналитическими свойствами ее L-функции в точке s=1. Конкретно: порядок нуля L-функции в s=1 должен равняться рангу группы рациональных точек кривой.
Кривая определяется целыми коэффициентами. Ранг — это максимальное число независимых рациональных точек бесконечного порядка на кривой, но сама группа точек и ее структура неразрывно связаны с арифметикой ℤ и ℚ. Вычисление ранга — задача целочисленной арифметической геометрии.
Это одна из "Проблем тысячелетия". Доказательство (или опровержение) гипотезы BSD даже для кривых ранга 0 и 1 остается недостижимым. Она требует синтеза глубоких теорий (модулярные формы, L-функции, теория групп), выходящих далеко за рамки аксиоматики кольца целых чисел. Ее статус подчеркивает, что даже "естественные" вопросы о диофантовых уравнениях (частный случай — точки кривой с целыми/рациональными координатами) в ℤ могут быть невероятно сложными и, возможно, неразрешимыми в рамках "элементарных" систем.
4. Задача о представимости множеств полиномами над ℤ (проблема Диофанта , теорема Матиясевича):
Множество M ⊆ ℤ называется диофантовым, если существует полином P(x, y₁, y₂, ..., yₙ) с целыми коэффициентами такой, что: x ∈ M ⇔ ∃ y₁, y₂, ..., yₙ ∈ ℤ : P(x, y₁, y₂, ..., yₙ) = 0.
Вся задача — о существовании целочисленных решений полиномиальных уравнений для определения подмножеств целых чисел.
Теорема Матиясевича (решившая 10-ю проблему Гильберта негативно) показывает, что существуют алгоритмически неразрешимые множества целых чисел (например, множество номеров машин Тьюринга, останавливающихся на пустом вводе), которые тем не менее являются диофантовыми! Это означает, что для такого множества Mсуществует полином P, как описано выше, но нет алгоритма (и не может быть доказательства в достаточно сильной формальной системе, основанной на ℤ), который по произвольному x ∈ ℤ корректно определил бы, принадлежит ли x множеству M. Это прямой пример гёделевской неполноты, воплощенный внутри арифметики целых чисел через диофантовы множества.
5. Проблема Фробениуса для n > 2 чисел:
Пусть даны nцелых положительных чисел a₁, a₂, ..., aₙ, таких что НОД(a₁, a₂, ..., aₙ) = 1. Найти наибольшее целое число g(a₁, a₂, ..., aₙ), которое не может быть представлено в виде неотрицательной целой линейной комбинации: x₁a₁ + x₂a₂ + ... + xₙaₙ где xᵢ ∈ ℕ ∪ {0}.
Задача целиком о представлении целых неотрицательных чисел целочисленными комбинациями. Искомое число g — целое.
Для n=2 существует простая формула: g(a, b) = a·b - a - b. Однако для n >= 3 не существует общей замкнутой формулы для g(a₁, a₂, ..., aₙ). Более того, вычисление g для произвольного набора из n >= 3 чисел является NP-трудной задачей. Хотя это и не прямая недоказуемость в смысле Гёделя, это демонстрирует фундаментальную вычислительную сложность, присущую даже сравнительно простым комбинаторным задачам в ℤ. Невозможность найти общую эффективную формулу или алгоритм подчеркивает ограниченность наших возможностей предсказать поведение систем в ℤ.
Целые числа (ℤ) являются фундаментом цифровой эпохи: они лежат в основе криптографии (протоколы ZKP, zk-SNARKs), компьютерных систем (дополнительный код, координатные сетки) и точных наук (квантовые вычисления, инженерия).
Но даже ℤ недостаточно. Уравнение
2x = 1
неразрешимо в целых числах. Этот вызов приведёт нас к миру рациональных чисел (ℚ), следующей ступени великой иерархии ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
Наш главный приоритет - публикация качественного и достоверного материала. Каждая статья проходит многоэтапную проверку нашей командой. Важно: материалы нашего проекта носят исключительно информативный характер. Они не являются образовательным контентом и не заменяют академические источники.
Математика, во всем своём невероятном разнообразии, от криптографии и искусственного интеллекта до теоретической физики и финансовых моделей, опирается на универсальный язык. И этот язык числа. Однако сами числане монолитная сущность. Они существуют в стройной иерархиивзаимосвязанных систем, каждая из которых возникла как ответ на фундаментальные вопросы и ограничения предыдущей.
Примечание: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ и ℂ— стандартные символы Юникода (exempli gratia, ℕ = U+2115), предназначенные специально для множества натуральных, целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел соответственно. Использование данных символов исключает двусмысленность, вроде "...пусть N — натуральное число, тогда N ∈ N", что только запутает читателя.
В этом цикле статей мы совершим путешествие по удивительным мирам чисел: от простых и интуитивных натуральных чисел (ℕ), служащих для счета дискретных объектов, до загадочных комплексных чисел (ℂ), описывающих волновые процессы в квантовой механике и электротехнике.
Понимание этой иерархии, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ, не просто академическое упражнение. Это ключ к осознанию того, почему математикаработает так эффективно для описания мира. Мы увидим, как дискретность ℕ и ℤ управляет логикой вычислений, как непрерывность ℝ описывает физические законы движения и изменения, и как двумерность ℂ кодирует информацию о фазе и амплитуде в волновых процессах.
Готовы отправиться в путешествие от камешков до квантовых волн? Начнем с самого основания, мира натуральных чисел (ℕ).
История натуральных чисел началась с практических потребностей древних цивилизаций. Зарубки на костях Ишанго, сделанные около 20 000 лет до н.э., свидетельствуют о первых попытках счета скота, урожая или дней. Шумеры (IV тысячелетие до н.э.) использовали числа для учета зерна, скота и налогов, а вавилоняне применяли их в астрономических расчетах движения планет уже во II тысячелетии до н.э.
Вавилоняне использовали пробел для обозначения нуля в записи чисел (напр., 1‿3 для 103), но не признавали его самостоятельной сущностью.
Эти числа, 1, 2, 3 и далее, стали фундаментом математики, и ноль долгое время не входил в их состав. Но отсутствие нуля было лишь частью решения более сложных задач.
Вавилоняне и майя использовали ноль как позиционный символ, но не считали его числом. В Европе ноль признали лишь в XII веке благодаря трудам Аль-Хорезми, хотя Аристотель отвергал его, утверждая, что
...природа не терпит пустоты.
К вопросу о нуле мы ещё вернёмся в следующих статьях.
Натуральные числа не могли решить уравнения типа x+3=1x+3=1 или корректно выразить результат деления 5 на 3, что позже привело к созданию целых и рациональных чисел. Античные философы, такие как Зенон, оспаривали саму возможность бесконечности ℕ, а средневековые теологи спорили, может ли Бог создать "наибольшее натуральное число".
Формализация ℕ завершилась в XIX веке. Пифагорейцы (V в. до н.э.) пытались свести мир к целым числам, но открытие иррациональности √2 разрушило эту идею.
Пифагорейцы обнаружили, что даже задача измерения диагонали квадрата (√2) неразрешима в рамках ℕ и их дробных отношений — это стал первый кризис оснований математики.
В 1889 году Джузеппе Пеано создал строгую аксиоматику: 1. 1 ∈ ℕ; 2. ∀n,m∈N(S(n)=S(m)⇒n=m) (инъективность функции следования, т. е. каждое число имеет последующее); 3. ∀n∈NS(n)≠1 (непредикативность 1, т. е. 1 не следует ни за каким числом); 4. [P(1) ∧ ∀k (P(k)⇒P(S(k)))]⇒∀nP(n) (принцип математической индукции, т. е. равенство последующих элементов влечет равенство самих чисел); Аксиоматика Пеано (в вариантах с 0 или 1) остаётся стандартом.
Теоремы Курта Гёделя навсегда изменили наше понимание математики, показав принципиальные ограничения формальных систем. Применительно к натуральным числам их суть такова: любая достаточно мощная и непротиворечивая система аксиом (включая аксиомы Пеано) неспособна полностью охватить все истинные свойства натуральных чисел.
Это означает, что всегда существуют утверждения, которые истинны с содержательной точки зрения, но формально недоказуемы в рамках самой системы — и их отрицание также недоказуемо.
"Машина Тьюринга с номером n не останавливается на пустом вводе". Это утверждение истинно для некоторых n (если машина действительно не останавливается) и недоказуемо в аксиомах Пеано. Такие утверждения относятся к конкретным свойствам натуральных чисел (номерам алгоритмов).
2. Натуральные числа обладают интуитивно ясными свойствами: бесконечность ряда 1,2,3,…1,2,3,…, корректность рекурсивных определений (сложение, умножение). Но никакая формальная система не может полностью захватить эту интуицию. Всегда останутся истины, невыводимые из аксиом.
3. Гипотезы в теории чисел могут быть принципиально недоказуемыми в рамках Пеано. Среди них проблема Гольдбаха (4=2+2,6=3+3,8=3+5,…4=2+2,6=3+3,8=3+5,…), гипотеза Римана (о распределении простых чисел) или гипотеза Коллатца (последовательность 3n+13n+1).
Как писал сам Гёдель:
Математические истины не являются исключительно продуктом человеческого разума.
Культурные особенности подчеркивают, что ℕ — не универсальная данность. Так, римская запись (I, II, III) затрудняла вычисления в сравнении с вавилонской позиционной системой. Вавилонская 60-ричная система (остатки в делении часа на 60 минут) превзошла римскую благодаря позиционности: число (2×60 + 12 = 132) записывалось двумя клинописными символами. У аборигенов Австралии (племя гуугу йимитир) числа 1–5 совпадают с названиями частей руки: "большой палец"=1, "мизинец"=5, а 6–19 — комбинации ("мизинец другой руки"=6). Древние майя использовали 20-ричную систему: точка (•) = 1, черта (–) = 5, ракушка = 0; число записывалось как 3•20 + 5 = 65. В средневековой Европе римские цифры (I, V, X) делали деление почти невозможным — для расчётов использовали абак или пальцы, а математики писали трактаты словами ("трижды три — девять");
У племени пираха́ (Амазония) отсутствуют числительные >2 ("много") — это подтверждает гипотезу лингвиста Бенджамина Уорфа: язык формирует математическую реальность.
Философски натуральные числа являются фундаментом математики. Леопольд Кронекер утверждал, что
Бог создал натуральные числа, всё остальное — дело рук человека
Исторические заблуждения, вроде средневековой нумерологии (где числам приписывали мистическую силу), напоминают, что в XIX веке наука отделила математику от эзотерики.
1. Парадокс Гильберта, или Отель бесконечности
Представьте отель с бесконечными номерами (ℕ), где все места заняты. Приезжает новый гость. Можно ли его разместить? Да, если попросить каждого гостя переселиться в соседний номер: гость 1 → 2, 2 → 3, и так далее. Освободившийся номер 1 отдают новичку. Так доказывается, что ℕ + 1 = ℕ. Парадокс иллюстрирует свойство бесконечных множеств: их часть может быть равна целому.
2. Гипотеза Римана, или Великая нерешённая задача
Все "нетривиальные нули" дзета-функции Римана (специальной функции, связанной с простыми числами) лежат на одной волшебной линии — "критической прямой" Re = 1/2. Простые числа (2,3,5,7...) распределены в ℕ хаотично. Бернхард Риман связал их с дзета-функцией. Если гипотеза верна, простые числа (2,3,5,7...) распределены не хаотично, а подчиняются скрытому порядку. Задача входит в список "Проблем тысячелетия" с премией $1 млн.
3. Гипотеза Коллатца, или проблема 3n+1
Если n чётное, разделите его на 2: n/2n/2.Если n нечётное, примените 3n+13n+1.Независимо от начального n, последовательность всегда достигнет 1. Открыта с 1937 года. Проверена для всех n<268n<268, но общее доказательство отсутствует. Пример: для n=27n=27 последовательность требует 111 шагов до достижения 1.
4. Проблема Варинга—Гольдбаха
Верно ли, что для любого натурального n>1n>1 и достаточно большого k, каждое достаточно большое натуральное число NN представимо в виде: N=p1n+p2n+⋯+pkn,N=p1n+p2n+⋯+pkn, где pipi — простые числа? Проблема обобщает проблему Гольдбаха (сумма простых) и проблему Варинга (сумма степеней). Для n=1n=1 и k=3k=3 эквивалентна тернарной проблеме Гольдбаха (доказана Виноградовым в 1937 г.). Для n≥2n≥2 остаётся открытой.
5. Обобщённая гипотеза Ферма о полигональных числах
Любое натуральное число ℕ может быть представлено в виде суммы не более mm mm-угольных чисел. Треугольные числа: Tk=k(k+1)2Tk=2k(k+1) (например, 1, 3, 6).
Квадратные числа: Kk=k2Kk=k2 (например, 1, 4, 9). Для любого m≥3m≥3 существует число g(m)g(m), такое что каждое NN выражается суммой g(m)g(m) mm-угольных чисел. Для квадратов (m=4m=4): g(4)=4g(4)=4 (теорема Лагранжа, 1770 г.).
Для треугольников (m=3m=3): Гаусс доказал, что g(3)=3g(3)=3 (1796 г.).
Доказан Гильбертом в 1909 г., но точные значения g(m)g(m) известны лишь для некоторых mm (например, g(5)=5g(5)=5, g(6)=6g(6)=6).
Сегодня ℕ лежат в основе RSA-шифрования (через простые числа) и теории алгоритмов, где они кодируют программы в машине Тьюринга.
Наш главный приоритет - публикация качественного и достоверного материала. Каждая статья проходит многоэтапную проверку нашей командой. Важно: материалы нашего проекта носят исключительно информативный характер. Они не являются образовательным контентом и не заменяют академические источники.
Перед вами третья часть статьи "Апории Зенона и современная наука". Прежде чем продолжить, настоятельно рекомендую ознакомиться с первой частью здесь и со второй частью тут.
Обычно все современные оппоненты Зенона (как и в общем-то все последние 200-300 лет с момента изобретения математического анализа) не идут дальше попыток объяснить первую же апорию. Как правило гордые "разоблачители" древнего "умника" удовлетворяются самыми поверхностными способами натянуть сову на глобус и на этом всё заканчивается. К сожалению я такое видел уже слишком много раз в дискуссиях и в Интернете и в реальной жизни. Поэтому мы очень пристально рассмотрим все аргументы, начиная от самых примитивных, против апории "Ахиллес и черепаха".
Парадокс как софизм
Самый примитивный аргумент заключается в объявлении данного парадокса софизмом, то есть не истинным парадоксом, а ложным, в которым сознательно заложена какая-то ошибка или уловка.
На самом деле уже лет 200 как эти апории не считает софизмами никто из серьезных ученых: ни Д. Гильберт, ни Б. Рассел, ни Г. Вейль и мн. др. В частности совершенно справедливо на Википедии приводится цитата одного из величайших математиков всех времен и народов Д. Гильберта:
"Обычно этот парадокс пытаются обойти рассуждением о том, что сумма бесконечного числа этих временных интервалов все-таки сходится и, таким образом, даёт конечный промежуток времени. Однако это рассуждение абсолютно не затрагивает один существенно парадоксальный момент, а именно парадокс, заключающийся в том, что некая бесконечная последовательность следующих друг за другом событий, последовательность, завершаемость которой мы не можем себе даже представить (не только физически, но хотя бы в принципе), на самом деле всё-таки должна завершиться".
Об этом же говорит и современный профессор философии, доктор наук, специалист по логике Д.А. Гусев. Софизм здесь видят только люди, которые еще не успели достаточно глубоко погрузиться в тему. Но нет. Ошибки здесь нет. Апории Зенона логически безупречны и это уже давно общепризнанный факт.
Самый частый аргумент разоблачителей софизма заключается в том, что в апории нет точки встречи Ахиллеса и черепахи, то есть апория составлена так, что Зенон всегда позади и никогда не догоняет черепаху. Но это не ошибка Зенона. В этом и состоит вопрос! А вы, друзья мои, как-то по-другому можете догнать движущийся объект, не побывав в том месте, где объект был ранее, если вы движетесь за ним по прямой? Вы умеете как-то телепортироваться в нужную точку? Дело в том, что даже в математическом анализе результат сходящегося ряда, которым и является погоня Ахиллеса за черепахой, не является частью ряда! То есть точка встречи не принадлежит к самому процессу погони. Нам дан процесс погони, и мы должны найти точку встречи! Но противники Зенона требуют, чтобы мы сразу дали и точку встречи, словно Ахиллес умеет телепортироваться или никакой погони и вовсе нет, а всё движение вместе с точкой встречи уже дано сразу.
Требование включить в задачу точку встречи равносильно требованию включить результат сходящегося ряда в сам ряд, то есть это как раз противоречит математике, а не условию изначальной задачи! Более того, требование включить в задачу точку встречи равносильно показать, как, где и когда бесконечная погоня закончится, то есть бесконечность окажется конечной. Но в этом и состоит вопрос Зенона! Как же так получается, что бесконечность оказывается конечной?
А ведь действительно, если мы включаем точку встречи в процесс погони заранее, это означает, что движения и не было, и весь процесс был дан изначально как нечто завершенное, подобно кадрам кинопленки. Но тогда мы автоматически признаем правоту элеатов: всё, что могло произойти, уже произошло, а воспринимаемое нами, таким образом, движение в пространстве и времени есть не более чем иллюзия.
Сторонники этого подхода, говорят, что мы действительно можем указать бесконечное количество отрезков до момента встречи и якобы в этом всё и дело, что мы бесконечно делим движение именно до момента встречи, но это движение же ограничено моментом встречи. Но если рассуждать так, то мы, получается, имеем дело с движением как чем-то завершенным априори. То есть движение завершено изначально и потому ограничено моментом встречи, и потому его и можно делить бесконечно. То есть мы как бы имеем дело не с потенциальной, а с актуальной бесконечностью, о чем еще будет сказано ниже.
Точка встречи - это и был бы переход бесконечного в конечное, так что такой точки в принципе не знает ни математика, ни физика. Это не Зенон её "выколол", она выколота из всей науки - в том-то и проблема. У нас есть просто данность в матанализе того, что бесконечное сойдется к конечному (об этом подробнее будет ниже), но как именно - неизвестно. Может мир и математика дискретны, может реально есть последнее число, может бесконечность переходит в ноль, а ноль в один - неизвестно. В том-то и проблема. Об этом и говорит Зенон. Не точка встречи выколота, в сам переход от бесконечного к конечному не ясен. Вот о чем спрашивает нас Зенон: каким образом бесконечное переходит в конечное и обратно? Где начало и конец любого движения?
В любом случае получается, что Зенон прав: бесконечная делимость движения возможна только, если оно уже завершено, и точка встречи уже есть изначально, то есть никакого движения нет как процесса, ведь процесс - это потенциальная бесконечность. Но если движение есть именно как процесс, как потенциальная бесконечность, то момент встречи не задан изначально и в итоге недостижим (потому что потенциальная бесконечность никогда не заканчивается) и Зенон снова прав. Тут, простите меня, как говорится, надо либо крестик снять, либо трусы надеть.
Еще сторонники того, что апории - это софизмы, часто говорят, что мы не учитываем кучу параметров, типа размеры тела Ахиллеса и черепахи, энергетические затраты и прочее. Это совсем уже низкий уровень дискуссии. Почему? Да потому что логический парадокс по правилам формальной логики решается только изнутри самого себя. Решение через огромное количество не логических (а например, физических) допущений не является решением парадокса! Если вам не нравится Ахиллес и черепаха, у которых есть тела и они затрачивают энергию при беге, то замените их на формализованные точки и суть не изменится. Но даже если мы признаем, что Ахиллес и черепаха - это конкретные физические тела, которые рано или поздно сталкиваются, мы, во-первых, опять же подразумеваем дискретность (Ахиллес и черепаха дискретны) и отправляемся ко второй паре апорий. Однако даже и на эти аргументы Зенон дал ответ 2500 лет назад даже без отсылки ко второй паре апорий. Зенон говорил, что какими бы физическими параметрами не обладал бы Ахиллес, его нога, даже когда до черепахи останется полметра (один шаг) должна преодолеть бесконечное количество точек внутри этого бесконечно делимого шага, что невозможно логически. Поэтому конкретные физические параметры Ахиллеса и черепахи на самом деле не имеют совершенно никакого значения.
Еще иногда говорят, что Зенон хитрит в том смысле, что заставляет время и скорость Ахиллеса замедляться, или, якобы Ахиллес сам словно уменьшается в размерах. Это не так. В апории ничего не замедляется и не уменьшается. Время и шаги в апории про Ахиллеса не замедляются, а, как и пространство, просто бесконечно делятся и это следствие континуальности пространства и времени, из чего и исходит данная апория. Поэтому выйти из этой ситуации можно только через допущение отсутствия бесконечной делимости в реальном мире, но тогда нас ждет вторая пара апорий, о чем уже было сказано выше.
Апории как бессмысленные абстракции
Следующий, всё еще довольно низкий уровень аргументации заключается в том, что апория "Ахиллес и черепаха" - это абстракция, не имеющая отношения к реальному миру. Люди часто используют слово "абстракция" как что-то неважное, несущественное, не имеющее отношения к реальности. Таким людям, я хочу напомнить, что вся математика, на которой стоит наша цивилизация со всеми ее научными и техническими достижениями - это буквально и есть одна большая абстракция. Так почему в апориях Зенона мы видим такое радикальное несоответствие логического и эмпирического?
В 1960 г. квантовый физик Юджин Вигнер написал статью "Необъяснимая эффективность математики в естественных науках". Этой статью Вигнер вновь оживил многовековой спор о том, в чем заключается сущность математики, открываем ли мы её или изобретаем? Математика не существует физически, а только как абстракция, но эта абстракция описывает наш мир так точно, что сегодня уже на полном серьезе выдающимися учеными развиваются концепции о том, что вся наша Вселенная - это математический объект (например, в этом направлении работают М. Тегмарк и С. Вольфрам).
Зенон, апории которого крайне математичны, ставит перед нами жесткий выбор: если математика - это абстракция, не имеющая отношения к реальности, то рушится всё здание науки и нашей цивилизации; если математика всё-таки описывает реальность, значит Зенон прав и движение действительно иллюзорно. Зенон не исходит из какой-то одной конкретной математической теории, которую можно было бы просто безболезненно пересмотреть. Он исходит из самой сути математической логики. Поэтому мы вынуждены или пересмотреть всю математическую логику и достижения науки, или изменить наши взгляды на мир. Причем в основе апорий лежит довольно простая математика, понятная даже детям, и если даже такая простая математика неверна, то пора закрывать абсолютно все научные институты и вообще переставать запускать ракеты в космос и развивать технический прогресс, ведь оказывается, что математика - это "просто абстракция, не имеющая отношения к реальности". Тут снова надо либо крестик снять, либо, ну вы поняли.
Все предыдущие аргументы против Зенона носят крайне поверхностный и даже примитивный характер, но их очень часто озвучивают те или иные люди, поэтому пришлось здесь об этом упомянуть. Перейдем к более весомым аргументам.
Движение и Классическая механика
Опираясь на конкретное физико-инженерное понимание движения, можно сказать, что точка встречи Ахиллеса и черепахи рассчитывается очень просто по следующей формуле:
S/Vах-Vч, где
S - изначальное расстояние между Ахиллесом и черепахой (1000 шагов),
Vах - скорость Ахиллеса (допустим 100 шагов в минуту),
Vч - скорость черепахи (в 10 раз меньше, чем у Ахиллеса, значит 10 шагов в минуту).
Если подставим конкретные цифры, озвученные для примера в скобочках выше, то получится следующее:
1000/100-10 = 1000/90 = 11,(1),
то есть 11 целых и 1 в периоде, то есть 11 целых и бесконечное (!) число единиц после запятой! То есть с точки зрения самой физики Ахиллес догонит черепаху тогда, когда пройдет бесконечное число единиц после запятой, а точнее никогда!
Более того! Если перемножить 11,(1) и 90 обратно, мы не получим 1000! Мы получим 999,(9)! И давно это у нас вообще математика считается точной наукой?))
Да, нас могут обвинить, что мы опять какие-то неправильные цифры взяли и надо брать не такие круглые значения, а что-то более приближенное к реальности. Но как же это так получается, что при одних скоростях Ахиллес догонит черепаху, а при других не догонит, при прочих равных условиях?
Перейдем к самому сильному аргументы - математическому анализу.
Ахиллес, черепаха и математический анализ
Математический анализ был изобретен в 17-18 веках Ньютоном и Лейбницем, как исчисление бесконечно малых величин - то, что, казалось бы, нам и надо.
Погоня Ахиллеса за черепахой - это довольно стандартный ряд, то есть бесконечная сумма конечных чисел, которая дает конечное же число, то есть, как говорят математики, ряд сходится.
И действительно. Допустим, для удобства, что Ахиллес бежит быстрее черепахи не в 10 раз, а в два раза. Тогда, для того, чтобы её догнать, ему нужно сначала пробежать 1/2 расстояния, потом 1/4, затем 1/8 и так далее.
Получаем ряд: 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...1/n = ?
Сходимость ряда, то есть выяснение того, закончится ли он конечным числом или уйдет в бесконечность, определяется по формуле:
A/1-q, где
А - первый член прогрессии,
q - основание прогрессии.
В нашем случае получается, что и A и q - это 1/2 или 0,5. Таким образом:
0,5/1-0,5 = 0,5/0,5 = 1.
Казалось бы, ура! Ряд сходится, Ахиллес догнал черепаху! Но не спешите радоваться. Ведь что мы имеем на самом деле? А имеем мы вот что:
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...1/n = 1.
То есть бесконечная сумма конечных слагаемых дала 1. Но тот факт, что бесконечная сумма конечных чисел дает конечный результат - это и есть парадокс сам по себе! Иными словами перед нами чистое чудо, доказанное математически! Бесконечность оказалась "оконеченной"! Но где тот последний шаг, после которого у нас и получится один? Он вообще есть? На этот вопрос нет ответа. Математика в лучших традициях диалектики Гегеля, против которой так рьяно иногда сражаются сами математики, буквально постулировала: бесконечное переходит в конечное. Но где, как, когда? Нет ответа. А ведь в этом и был вопрос Зенона! Где же именно бесконечное движение Ахиллеса закончится? Математика просто постулирует, что движение закончится, но не объясняет, каким же будет последний шаг.
В итоге математический анализ, как казалось бы, сильнейшее орудие против апорий Зенона, просто постулирует чудо перехода бесконечного в конечное, но никак не объясняет это чудо!
Математик А.В. Савватеев в этом замечательном подкасте заявляет, что всё просто и дело лишь в том, что бесконечное количество отрезков пространства будут пройдены за конечное время. Вкратце этот аргумент мы уже рассматривали выше, теперь скажем о нем подробнее. Во-первых, это вообще не просто, а порождает еще больше вопросов: на каком это основании мы пространство ограничиваем временем, ведь время точно также бесконечно делимо, как и пространство в этой апории, и вообще пространство и время составляют единый континуум в Теории относительности. Во-вторых, аргумент А.В. Савватеева был разбит еще в прошлом веке математиком Г. Вейлем, который писал, что если б это было так, и Ахиллес мог бы пробежать бесконечную сумму отрезков за конечное время, то мы могли бы создать машину, которая за минуту совершает бесконечное число операций, и такая машина могла бы за минуту пересчитать, например, весь натуральный ряд, что абсурдно. Так почему же мы считаем, что бесконечное движение Ахиллеса за конечное время - это не точно такой же абсурд?
В защиту матанализа люди часто говорят, что погоня Ахиллеса за черепахой равносильна бесконечному делению квадратного метра. Да, мы можем бесконечно делить квадратный метр (как на рисунке 3), но он-то всё равно остается конечным. Аргумент с квадратом был сформулирован задолго до возникновения математического анализа еще философом XIV века Николаем Оремом. Данный аргумент представляет собой пример геометрической интуиции, примененной к апориям Зенона.
Рисунок 3. Квадрат Николая Орема: площадь каждой новый фигуры после деления квадрата пополам равна половине от того, что было до деления. Делить квадрат таким образом можно бесконечно, но сумма всех площадей в итоге всё равно даст 1.
Ну так это же и опять есть постулирование чуда! Меня интересует не сам факт того, что чудо происходит, а как именно оно происходит. Как именно бесконечность оказывается оконеченной и наоборот?
Квадратный метр бесконечно делим, потому что он уже завершен. Значит погоня Ахиллеса за черепахой тоже уже завершена изначально? То есть движения как процесса никогда не было и нет, и элеаты всегда были правы?
А если движение есть, значит бесконечность отрезков в какой-то момент переходит в конечное число? А где тогда, опять же, будет последний шаг? После какого очередного слагаемого у нас получится наконец единица?
Мы в любом случае впадаем в парадокс: если берем готовый квадрат и признаем его бесконечную делимость, то запускаем процесс, который никогда не кончается (процесс бесконечного деления квадрата). Если берем наоборот процесс как нечто законченное, то получается, что Ахиллес догонит черепаху, потому что никакой погони и не было изначально. Ну снимите крестик уже наконец...
Можно сказать иначе. Завершенный квадрат мы можем бесконечно делить, но он остается собой. А если квадрата нет изначально и мы хотим его построить как из кубиков, складывая последовательно всё меньшие площади, как показано на рисунке 3, то когда же мы получим желаемый квадрат, площадь которого равно единице? Ответ: никогда.
То есть перед нами либо актуальная бесконечность, либо потенциальная, либо одно переходит в другое. Но где этот переход актуальной бесконечности в потенциальную? Его никто показать не может. Но все просто удовлетворяются простым ответом: ряд сходится. В этом и заключается сила настоящей философии: видеть то, что не видят другие в силу узости мышления, надменности, а порой и того, и другого.
Зенон показывает невыводимость актуальной бесконечности из потенциальной. В математике мы делим бесконечность на части. А Зенон спрашивает, как из частей собрать целое? Как собрать бесконечность?
Огромный вклад в развитие и утверждение матанализа как рабочей и полезной концепции внес французский математик первой половины XIX века Огюстен Луи Коши. В его работе, как и у чешского математика того же периода Бернарда Больцано, центральную роль играет чисто арифметическое понятие предела, освобожденное от всякой геометрической и временной интуиции. То есть сходимость ряда в самой математике буквально основана на отбрасывании пространства, времени и как следствие, какого-либо движения. В мире математики нет времени.
В 1934 году советский математик и философ, профессор С. А. Богомолов в своей книге "Актуальная бесконечность: Зенон Элейский, Исаак Ньютон и Георг Кантор" писал:
«Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова «Ахилл не догонит черепаху» на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела»
.
Спустя почти 30 лет, в 1962 г. советский математик и философ С.А. Яновская подтверждала, что "воз и ныне там":
"В настоящее время все более и более частыми и убедительными становятся замечания философов и специалистов по основаниям математики, свидетельствующие о том, что трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона Элейского, и в наши дни нельзя считать преодоленными".
С тех пор, как теперь видно, мало что изменилось.
Интересно отметить, напоследок, что апории Зенона нарушают аксиому Архимеда. Но она же нарушается и в нестандартном анализе, который Курт Гёдель считал математикой будущего! А еще точнее, аксиома Архимеда нарушается в инфинитезимальном анализе — одном из наиболее разработанных разделов, составляющих нестандартные методы анализа. В его рамках получили строгое обоснование метод неделимых и монадология, восходящие к глубокой древности (здесь мы видим прямой намек на диалектический синтез древних философских концепций и строго формализованной современной науки, о чем еще будет сказано далее).
Парадокс непредставимости
В ответ на выше обозначенные аргументы иногда возражают так, что всё дело лишь в том, что мы просто не можем себе представить, как завершается бесконечная сумма конечных чисел, то есть мы имеем дело не с реальной проблемой, а "всего-навсего" с парадоксом непредставимости. То есть здесь утверждается, что если мы чего-то не можем себе представить, то это ещё не значит, что это что-то не существует или является невозможным.
Однако с этим аргументом спорю уже даже не я, а Дэвид Чалмерс - один из главных и наиболее известных современных специалистов по проблеме сознания. В своей знаменитой книге "Сознающий ум" Д. Чалмерс подробно разбирает логику непредставимости и приходит к выводу, что непредставимость - это абсолютно правомерный аргумент в пользу несуществования или невозможности чего-то. Тот, кто утверждает обратное, должен еще доказать, что непредставимое возможно. Но таких доказательств на данный момент нет, зато Д. Чалмерсом, как мне кажется, весьма убедительно показано обратное.
Интересно отметить, что в своей книге Д. Чалмерс пишет, что "эпистемология - это онтология наоборот" - тоже своего рода возвращение на новом уровне к тезису Парменида о единстве (или тождестве) бытия и мышления. Очень глубокая мысль на самом деле.
Тех, кого интересуют подробности, отсылаю к разделу "Логическая необходимость, концептуальная истина и представимость" в книге Д. Чалмерса "Сознающий ум".
***
Иногда говорят, что Зенон своими апориями показал недостаточность формальной логики для описания мира. Возможно. Но это неважно. Важно то, что любое существующее решение его апорий - это иллюзия, видимость решения, связанная с упрощением самой проблематики, поднимаемой Зеноном. Ни одна из апорий Зенона не решена ни одним из существующих способов, как мы это показали только что на примере апории "Ахиллес и черепаха".
В математике попыткой вырваться из плена формальной логики было создание дифференциального и интегрального исчисления. И то и другое предполагает непрерывное изменение некоторой величины в зависимости от непрерывного же изменения другой величины. Столбчатые диаграммы изображают зависимость дискретных явлений и процессов, а графики (линии) - непрерывных процессов и явлений. Однако переход от диаграммы к графику есть некое таинство - что-то вроде святотатства. Ведь все экспериментальные данные (результаты конкретных измерений) дискретны. А исследователь вместо диаграммы берет и рисует график. Что это? Если подходить строго, то дело тут обстоит так: график - это трансформация диаграммы в график, который аппроксимирует эту диаграмму. Строя график в виде сплошной линии, мы совершаем переход из мира дискретных явлений и предметов в мир непрерывный. Это попытка вырваться за пределы формальной логики и тем самым избежать её парадоксы. И эта попытка оказалась хорошо работающей на практике, но ничего не объясняющей по сути, потому что истинная проблема, лежащая в основе апорий, является гораздо более глубокой, чем кажется.
Так что же на самом деле за проблематику такую поднимает Зенон в своих апориях, что здесь оказывается бессильной даже современная наука? Продолжение следует.
Лев Семёнович Понтря́гин— советский математик, один из крупнейших математиков XX века. В 14 лет Лев потерял зрение в результате несчастного случая — взорвавшийся примус вызвал сильнейший ожог лица, сама жизнь его была настолько в серьёзной опасности, что на глаза сразу не обратили внимание. Попытка вернуть зрение последующей хирургической операцией вызвала сильнейшее воспаление глаз и привела к полной слепоте. Однако благодаря своей матери, которая все свое свободное время посвящала ему, у него получилось закончить среднюю школу, поступить на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета и окончить его.
С именем Понтрягина связана целая эпоха в развитии математики. Труды Л. С. Понтрягина оказали определяющее влияние на развитие топологии и топологической алгебры. Он заложил основы и доказал основные теоремы в оптимальном управлении и теории дифференциальных игр. Его идеи во многом предопределили развитие математики в XX веке.
Понтрягин Лев - Жизнеописание Л. С. Понтрягина, математика, составленное им самим.
