Приветствую всех собравшихся)
Спасибо, что читаете, комментируете и исправляете мои конспекты. Я все просматриваю и принимаю к сведению.
Сегодня я составила краткий обзор по одной из самых важных для меня тем.
В общем, о теории множеств, математической бесконечности и парадоксах.
Все основывается на постулатах бытия. Парменид Элейский утверждал: Бытие существует, оно есть, оно вмещает в себя весь мир, нас и Вселенную.
Аристотель уточнил, что бытие способно изменять свое состояние, быть в движении, быть в действии, в потенции. Белый лист - текст в потенции, ребенок - взрослый в потенции, бесконечность тоже существует, но только в потенции и никогда - в действии.
Георг Кантор ввел в математику изучение актуальной бесконечности, в противовес аристотелевской потенциальной.
Он был очень религиозным человеком и считал, что к этому озарению его привел именно Бог.
Теория Кантора - теория множеств, которая строилась на ординалах, числах, позволяющих вести исчисления за пределами бесконечности.
Эти числа были "изобретены" Кантором. Они могут существовать только в нашем сознании. До этого все понятия были связаны с реальностью, с конкретными задачами и ситуациями. Сегодня не обязательно этому соответствовать, должна быть только логическая последовательность.
Сущность математики и состоит в свободе теорий, идей, анализа и исследований.
Чтобы представить себе эти цифры, т.е. представить бесконечность, можно использовать ординалы, которые никогда не закончатся, список будет конечен только на определенный момент времени.
Актуальной бесконечность будет только если представить всю эту группу чисел.
Знак бесконечности, который все знают, лежащая восьмерочка, означает потенциальную бесконечность, не актуальную. Он был введен в 1655 году англ.математиком Д. Валлисом, сейчас мы рассматриваем нечто другое, по утверждению Кантора.
Ученый ввел понятие "количество элементов бесконечного множества" и обозначил его как мощность. Установил свойство транзитивности. У отрезка и квадрата одинаковая мощность, любой отрезок равномощен полной оси, мощность квадрата такая же, как мощность всей плоскости, мощность куба равна мощности всего трехмерного пространства. Его теория основывалась на эквивалентности. Отрезок с двумя концами, отрезок без одного конца и отрезок без ограничений - эквивалентны друг другу. При эквивалентности используется понятие последовательности.
Самая большая мощность в данное время у множества вещественных чисел.
По определению Кантора каждой точке числовой оси соответствует вещественное число.
Это множество он назвал несчетным.
Эквивалентным ему он считал множества иррациональных и трансцендентных чисел.
Трансцендентные - числа с бесконечным количеством знаков после запятой, такие как пи, число Лиувилля и др.
Друг Кантора, немецкий математик Рихард Дедекинд предложил альтернативное определение актуальной бесконечности. Любое множество равномощно любому своему подмножеству. Это определение до сих пор используется в области мат. бесконечности.
Другой математик Кронекер полностью отвергал исследования Кантора и признавал только потенциальную бесконечность, актуальную он считал абсурдом.
Кронекер обладал авторитетом в мире математики и его мнение очень огорчило Кантора, что привело последнего к депрессии и разочарованиям.
В математике бесконечные суммы называют рядами. Существует метод Фурье, разложения функций на тригонометрические ряды. Это один из важных инструментов изучения многих физ. явлений. При исследовании актуальной бесконечности и задачи о континууме, Кантор воспользовался данным методом. Для этого было разработано понятие производного множества. Решение было найдено при условии конечности процесса получения производных множеств. Континуум-гипотеза гласит, что между мощностью множеств натуральных и вещественных чисел отсутствует промежуточная.
Ординалы позволяют считать за пределами натуральных чисел и образуют классы.
У ординальных чисел первого класса - конечное число предшественников.
У второго - счетное число.
У последующего, включающего два предыдущих класса - несчетное множество.
Все последующие классы составляют бесконечное число уровней бесконечности.
Принцип порождения ординалов противоречит принципу последовательности, а логические противоречия всегда свидетельствуют об ошибке.
Допустим, есть универсальное множество, содержащее в себе все возможное, содержащее в себе абсолютно все. По теореме Кантора существует множество с большей мощностью. Но может ли быть мощность, превышающая мощность множества, в котором содержится вся Вселенная? Противоречие или нет? Можно это признать или нет, познать хотя бы приближенно. Абсолютное может подчиняться другим правилам.
Многие ученые формулировали свои аксиомы теории множеств. Существует два подхода к решению: платонизм и формализм.
Платонисты - универсальное множество существует вне зависимости от человеческого разума, и сущность работы математиков его определить и сделать правдой.
Формалисты полагают, что математика, в сущности, - игра. Работа математиков сделать правильный ход на "шахматной доске" и понять, куда ведут нас правила.
Сам Кантор считал, что понятия, определенные математиками, имеют собственное объективное существование в разуме Бога.
Континуум-гипотеза пока не доказана, не опровергнута. До сих пор ищется система аксиом для теории бесконечности.
Кантор скончался в психиатрической клинике от сердечного приступа 6 января 1918 года.
Понятия теории множеств, в частности различия между счетными и несчетными множествами. являются фундаментом в теории меры - обобщения исчисления.
Познать бесконечность - познать разум Бога.
Мне было бы интересно узнать ваше мнение на этот счет, как вы понимаете бесконечность?
