行ける様に成ったら　– эта грамматическая конструкция выражает условие, при котором она отправится куда-либо в одиночку: а именно, если это место/действие станет 成る(なる) наподобие, вроде как 様に(ように) достижимым, доступным 行ける(いける). Проще говоря, она сможет отправиться куда-то в одиночку, если только станет взрослой. みたい  грамматически выражает возможность места или свершения действия:

遠い（とお）国（くに）- может, в далёкую страну,

島（しま）- остров,　

誰もいない（だれもいない）- где больше никого нет

行って от 行く(いく) уезжать

Перевод первой части:

Когда я вырасту, то уеду в какую-нибудь далёкую страну, на самый край земли, на какой-нибудь необитаемый остров.

Примечание:

В оригинале идет грамматический повтор: далекая страна-далекий остров-необитаемый остров.

Вторая часть:

つらいことも悲しいこともない島に行ってみたい。

辛い事(つらいこと) боль, особенно душевная, по сутиこと превращает прилагательное つらい　в существительное.

悲しいことも(かなしいことも) а также печали, грусти (там тоже нет)

Перевод второй части:

На какой-нибудь остров, где нет ни боли, ни печали.

Примечание:

Еще раз отмечу, что みたい　означает возможность, то есть любой, а не конкретный остров, лишь бы он соответствовал означенным условиям (то есть, где нет ни боли, ни печали, ни людей).

Третья часть:

島には大人も子供もクラスメートも先生もお母さんもいない。

大人(おとな) взрослые

子供(こども) дети　

クラスメート  одноклассники

先生(せんせい) учитель

お母さん(おかあさん) мама

Перевод третьей части:

На острове не будет ни взрослых, ни детей, ни одноклассников, ни учителей, и мамы тоже.

Четвёртая часть:

その島で私は登りたい時に木に登り、泳ぎたい時に海で泳ぎ、眠りたい時に眠る。

その島で(そのしまで) на этом острове

Примечание:

смена　に　на　で, скорее всего, связана с отношением к острову как к дому, а не просто как к месту нахождения. Просто предположение.

登り(のぼり) взбираться

木に(きに) на дерево

たい時に(たいときに) в то время, когда хочу

泳ぎ(およぎ) плавать　

海で(うみで) в море　

眠り(ねむり) спать

Перевод четвёртой части:

На этом острове я буду делать всё, что пожелаю – лазить по деревьям, плавать в море, спать.

Примечание:

Интересный психологический момент: там, где русский ребёнок напишет в сочинении «всё, что захочу», японский напишет «когда захочу», потому что в Японии с пяти лет жёстко приучают к дисциплине, а в России строже отношение к определенным действиям, чем к нарушению распорядка дня.

Пятая часть:

その島で私は私だけがいなくなった街のことを考える。

其の(その) этот

考える(かんがえる) думать, размышлять

Перевод пятой части:

На острове я буду думать об оставленном мной городе.

Шестая часть:

子供はいつものように学校に行く、大人はいつものように会社に行く、お母さんはいつものようにごはんを食べる。

何時もの様に(いつものように) так же, как и всегда

学校(がっこ) школа

会社(かいしゃ) здесь: работа

御飯(ごはん) обед, еда

食べる(たべる) есть, кушать

Перевод шестой части:

Дети ходят в школу, взрослые ездят на работу, мама ест – всё как обычно.

Седьмая часть:

私は私だけがいない街のことを考えると、気持ちが軽くなる。遠く遠くへ行きたい。

私(わたし) я

街(まち) город

考える(かんがえる) думать, размышлять

と – здесь признак условия: если, когда

気持ち(きもち) чувства

軽く(かるく) от　軽い(かるい) легкий (и в переносном смысле)

遠く(とおく) далеко, прочь

Перевод седьмой части:

Когда я думаю о городе, где меня больше нет, мне становится легче.

Вот бы уехать, далеко-далеко.