Евгений Яковлевич Савицкий родился в городе Новороссийск Черноморской губернии (ныне Краснодарского края) 11 (24) декабря 1910 года. Отец его работал стрелочником на железной дороге. В семь лет остался без отца. Некоторое время был беспризорником, затем воспитывался в детском доме. Окончил школу ФЗУ и несколько лет работал дизелистом и шофёром на цементном заводе «Пролетарий» в Новороссийске. Будучи комсомольцем, состоял в отряде содействия местного ОГПУ.

Русский. Член КПСС с 1931 года.

В Красной Армии с ноября 1929 года. В 1932 году окончил 7-ю военную школу лётчиков имени Краснознамённого Сталинградского пролетариата в Сталинграде. После её окончания служил в ней инструктором и командиром звена. С февраля 1934 года на командных должностях в ВВС РККА: командир звена 18-й лёгкой штурмовой авиационной эскадрильи ВВС Украинского военного округа (Киев), с февраля 1935 — командир авиаотряда в ВВС Сибирского военного округа (Красноярск), с февраля 1936 — командир отряда 32-й штурмовой авиаэскадрильи в том же округе, С июля 1937 — командир 61-го отдельного разведывательного авиационного отряда ВВС Отдельной Краснознамённой Дальневосточной армии, с сентября 1938 — помощник командира 29-го истребительного авиационного полка 26-й авиационной бригады ВВС 2-й Краснознамённой армии, с февраля 1940 — командир этого полка. С сентября 1940 — командир 3-го истребительного авиационного полка. С апреля 1941 года командовал 29-й истребительной авиационной дивизией ВВС Дальневосточного фронта.

После начала Великой Отечественной войны продолжал командовать дивизией, с марта 1942 года — командующий ВВС 25-й армии Дальневосточного фронта. В действующей армии воевал с мая 1942 года, когда был назначен командиром 205-й истребительной авиационной дивизии в 2-й воздушной армии на Воронежском фронте. С ноября 1942 — командующий авиагруппой 17-й воздушной армии Юго-Западного фронта.

В декабре 1942 года назначен командиром 3-го истребительного авиационного корпуса 8-й воздушной армии, которым он руководил до конца войны. Во главе корпуса воевал на Северо-Кавказском фронте, с августа 1943 — на Южном фронте, с октября 1943 — на 4-м Украинском фронте, с июня 1944 — в 1-й и в 16-й воздушных армиях 1-го Белорусского фронта. За годы войны участвовал в Воронежско-Ворошиловградской оборонительной операции, Сталинградской битве, битве за Кавказ, Воздушном сражении на Кубани, Белгородско-Харьковской, Донбасской, Мелитопольской, Никопольско-Криворожской, Крымской, Белорусской, Висло-Одерской, Восточно-Померанской, Берлинской наступательных операциях. Воевал на истребителях ЛаГГ-3, Ла-5, Як-1, Як-9, Як-3.

К марту 1944 года генерал-лейтенант авиации Е. Я. Савицкий совершил 107 боевых вылетов, в воздушных боях сбил 15 самолётов противника.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 11 мая 1944 года генерал-лейтенант авиации Е. Я. Савицкий удостоен звания Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

К концу войны на счету Савицкого значилось 22 сбитых лично и 2 в группе самолётов противника. Всего им было выполнено 216 боевых вылетов, проведён 81 воздушный бой.

5 июня 1945 года Савицкий был награждён второй медалью «Золотая Звезда» Героя Советского Союза.

За время войны Савицкий был 22 раза упомянут в благодарственных приказах Верховного Главнокомандующего.

После Победы продолжал командовать корпусом. С октября 1947 года — начальник Управления боевой подготовки истребительной авиации Главного управления ВВС Вооружённых сил СССР. В августе 1948 года назначен командующим истребительной авиацией Войск ПВО и одновременно — командующий 19-й воздушной истребительной армией ПВО, с февраля 1949 — командующий 78-й воздушной истребительной армией ПВО, с октября 1949 — командующий 64-й воздушной истребительной армией ПВО.

В 1955 году окончил Высшую военную академию имени К. Е. Ворошилова. После окончания продолжал командовать истребительной авиацией Войск ПВО страны. С июня 1960 — командующий авиацией Войск ПВО страны. С июля 1966 года — заместитель главнокомандующего Войсками ПВО страны.

С апреля 1980 года — военный инспектор-советник в Группе генеральных инспекторов Министерства обороны СССР.

Кандидат в члены ЦК КПСС (1961—1966). Избирался депутатом Верховного Совета СССР 6-го созыва (1962—1966).

Евгений Яковлевич Савицкий скончался 6 апреля 1990 года в Москве. Похоронен на Новодевичьем кладбище.