Внешкольная геометрия

Когда работаешь с 3D-графикой, невольно ловишь себя на мысли, что всё ещё недостаточно представляешь, как ведут себя кватернионы. Они как квантовая механика: заткнись и считай. Но хочется. Чуть приоткрыть вуаль.

Задумался я вот над чем. Вот есть у нас сфера. Есть у нас правильные многогранники. Например, октаэдр. Если его надуть, он становится замощением сферы. В этом замощении переход по одной грани транслирует на 90°, а из вершины можно выбрать другой поворот, но кратный 90°. И, шагая такими порциями, мы не попадаем в какие-то новые точки.

А в кватернионах повороту на 90° соответствует трансляция 45° в гиперсфере. А если можно шагать по 45°, то как это так получается, что мы не можем наплодить бесконечно много точек со всякими неудобными координатами? Объектов с симметрией 45° градусов в 3+ размерностях мне не известно, таких чтобы менять направление можно было. С другой стороны, берём куб, вращаем его по 90° по любым осям, которые переводят куб в куб. Это одни и те же 3 оси под углом 90° друг к другу. Меняй ось на любую другую, вращай, и как ни крути, получим один из 24 элементов группы вращения куба. А в кватернионах, стало быть, как ни шагай по 45°, как ни меняй оси, тоже будут только 24 элемента, ну а откуда там взяться чему-то ещё. Парадокс!

Там просто какое-то другое замощение, подумал я, и начал пытаться его понять. С этим замощением возникает такая проблема, что: у нас есть вершины и у нас есть рёбра. Гладкое вращение на 90° соответствует гладкой трансляции на 45°, и вот у нас набор рёбер. А дальше начинается непонятное. Для замощения нужна начинка более высоких порядков: грани и ячейки. Как они устроены?

Я начал рисовать, прикидывать. В каждой вершине встречаются 6 ребра, они либо перпендикулярны друг другу, либо параллельны, то есть, одно ребро входит в вершину, другое выходит из неё, и такие параллельные рёбра образуют циклы вращений вокруг одной оси. Порисовав ещё, я кое-что понял, что постоянно упускал. Поворот на угол не сжимается в два раза в кватернионах. Нет. Он разваливается на две равные части. Поворот на 90° не сжимается до трансляции 45°, а разваливается на трансляцию 45° вдоль оси поворота, а ещё вдоль этой же оси надо повернуть на 45° перпендикулярные оси, чтобы если в пункте назначения захотим шагнуть по другим осям, шагать пришлось уже в другом направлении. Это всё ещё парадоксально, как это так нельзя шагнуть мимо 24 элементов, но всё же понимание чуть повысилось. Не сжимается, а разваливается.

Поделав несколько неудачных рисунков, я сделал такое наблюдение. Один и тот же генератор формирует расслоение Хопфа. Расслоение получается негустое, из 6 циклов, видимо, соответствующих вершинам октаэдра на S2. По трём осям хочется взять три перпендикулярных генератора, каждый по 45°, и они формируют три разных расслоения Хопфа, и в каждой точке элементы расслоений перпендикулярны друг другу. Это уже касается не только 6 циклов в каждом направлении, но и вообще любой точки. Всё ещё недостаточно понятно.

Наконец, получилось относительно удачно нарисовать фрагмент пространства кватернионов, и в нарисованном я увидел нечто. Про вершины и рёбра понятно, дальше непонятно. У ячейки 5 вершин и 6 рёбер. По формуле Эйлера… 3 грани? Что? Помедитировал на рисунок. Ну, видимо, да. Трёхгранник. Только чтобы придать ему смысл, нужно расширить понятие грани. Обычно гранью многогранника в гиперсфере (в эллиптическом пространстве) называют фрагмент большой сферы (эллиптической плоскости). В моём случае грань состоит из вырезки ленты Мёбиуса. Это тоже по-своему интересный объект эллиптического пространства.

Если взять расслоение Хопфа, то в нём любые два элемента (большие окружности или «прямые») параллельны по Клиффорду, и между ними можно натянуть вырезку ленты Мёбиуса.

Про трёхгранник. 5 вершин трёхгранника распадаются на два полюса и три вершины экватора.

Дальше начинаются сомнения. А не может ли оказаться так, что я разглядел какой-то объект, достроил недостающее по своему произволу, а это разбиение эллиптического пространства не является однозначным. В одном фрагменте эллиптического пространства на решётке из вершин и рёбер что-то клубится, и может склубиться как-то по-другому. Или даже вот тот объект, который я разглядел, а вдруг мы по-другому выберем полюса и экватор, и оно пересечёт насквозь первый объект, так что станет понятно, что ерунда какая-то. И ещё, а достаточно ли трёхгранников, чтобы замостить вообще всё. На эти вопросы я по своим рисункам ответить уже оказался не в состоянии, решил начать экспериментировать в компьютерной графике. Расслоение Хопфа на слух что-то вихрящееся, а сразу три расслоения = тройной вихрь?

Но нет. С виду получилось кристалличненько. Здесь можно сделать пояснение, что эта проекция сделана на гиперграни полутессеракта. В центре куб-гипергрань относительно небольших поворотов (90° по осям = трансляция на 45° в кватернионах, 120° по диагонали = трансляция на 60° в кватернионах), и в этом кубе действует гномоническая проекция. Граница тессеракта состоит из 8 кубов, а полутессеракт, по идее, из 4, но эти 4 разбиваются как 1+3, про один я уже написал, а оставшиеся 3 ещё режутся на пополам, и 6 половинок стыкуются к центральному кубу со всех сторон. Если бы это были правда полукубы, в них бы тоже действовала гномоническая проекция с центром в центре режущего напополам квадрата. Но я решил склеить боковые полукубы и растянул их в усечённые пирамиды, и теперь я не знаю, называется ли как-то такая проекция. В общем, художник так видит. Я в такой проекции рисовал, делал прикидки, и компьютерную графику начал делать в той же проекции. Внешние 6 граней такого импровизированного куба соответствуют всем возможным поворотам на 180° (90° в кватернионах), и это как бы «конец мира» для кватернионов, дальше крест-накрест всё соединяется и повторяется с другой стороны.

В поисках ответа на вопрос, нельзя ли по-другому замостить, покрутил решётку и в компьютерной графике, и так и не разглядел чего-то лучше трёхгранников. Но я всё ещё не знаю, достаточно ли их. Надо добавить и посмотреть. Отсёк для удобства 3/4 объёма. Кажется, всё самое интересное можно увидеть на двух октантах, но дальше отсекать не следует.

Первым попробованным трёхгранником был, конечно, тот, что из начала координат идёт или, лучше сказать, из ничего не делающего кватерниона.

Экватор, — это гордо сказано. Экватор звучит как что-то круглое, но у трёхгранника сечение экватора получается как предельно тощий, и всё же непустой гнутый треугольник. В вершинах встречаются два ребра под углом 90° друг к другу. Относительно сечения экватора это 45° к любому полюсу. В сечении экватора нет рёбер, только вершины и грани, а грани встречаются под честными 0°. Полюс, напротив, на слух звучит как что-то острое, но на деле там встречаются три ребра под углом 90° друг к другу, и рёбра там под углом 90°. Что-то такое, локально похожее на вершину куба.

К одному трёхграннику захотелось присоседить ещё один, такой же, но в другом октанте.

Полюса локально похожи на вершину куба и вроде бы стыкуются, но оставляют промежуток, который потом только ширится.

Эксперименты показали, что достаточно ровно одной грани Мёбиуса, чтобы закрыть этот промежуток. Две другие грани Мёбиуса общие с первыми трёхгранниками.

Можно продолжить строительство вверх и достроить кое-что.

Искажения и внутренности несколько мешают рассмотреть, так что я выделил только внешнюю поверхность и только с одной стороны, и ближе к началу координат.

В таком ракурсе видно, что внешний контур выглядит как треугольник. А в гномонической проекции так выглядят прямые линии эллиптического пространства (большие окружности). Углы в вершинах треугольника понятно, какие, 90°. Стороны треугольника состоят из двух состыкованных рёбер, каждое из которых кодировало вращение на 90° и поэтому было длины 45° в кватернионах. А два вместе кодируют вращение на 180° (90° в кватернионах). Но торчит из треугольника кусок вершины куба.

Так видно, что треугольник плоский, а центр как бы ущипнули, потянули, и центр стал локально похож на вершину куба, но идущие из вершины рёбра как бы рассасываются и не заканчиваются вершиной, а, полностью расплющившись, входят в середину ребра. Как ранее выяснили, если с двух сторон ограничить объём такими странными поверхностями, это нечто можно составить из четырёх трёхгранников, примерно похоже на то, как в Евклидовом пространстве треугольник удвоенной длины строится из четырёх треугольников поменьше.

Где-то по пути отсеялись мои сомнения, что можно придумать замощение лучше. Всё стыкуется в странный, но по-своему логичный конструктор.

Осталось как-то назвать замощение. И тут нужно перейти к геометрии спина. Да. Куб с геометрией вращения спина. Я прямо себя Чеховым чувствую. Повесил в начале текста сравнение с квантовой механикой, и вот оно. Очень надо. Посмотрим ещё раз на математический справочник. Там правильные 4-мерные многогранники называются по количеству их ячеек. Например, 120-ячейник. Если его надуть, он замостит гиперсферу 120 ячейками. А повороты в пространстве кодируются проективной плоскостью, которая может быть получена из гиперсферы отождествлением противоположных точек. Так что аналог 120-ячейника для пространственных поворотов мог бы называться 60-ячейник, но очень хорошо, что таких названий не вводят, это была бы та ещё путаница. А в нашем случае нужно идти противоположным путём, от проективной плоскости к полной гиперсфере. Просто чтобы дать «каноничные» для математики характеристики.

Итак, не 24 вершины, а 48. Одно ребро соединяет две вершины, а в одной вершине встречаются 6 рёбер, значит, рёбер в 6/2=3 раза больше, чем вершин, то есть, 144 ребра. В одном ребре сходится 8 ячеек, а в одной ячейке 6 рёбер, значит, ячеек в 8/6=4/3 раза больше, чем вершин, то есть, 192 вершины. По формуле Эйлера граней должно быть 344.

V=48; E=144; F=344; C=192. Могу что-то напутать. Несколько раз исправлял числа.

Если наконец всё правильно, то замощение можно назвать 192-ячейником (192-cell). А если убрать геометрию спина, то всего становится меньше в два раза. Проективное пространство, пространство пространственных поворотов замощается 96-ю трёхгранниками.

Проект на GitFlic. Исходный текст + модельки

Касательная — это линия, которая выходит из какой-либо точки вне рассматриваемой области и соприкасается (пересекает) с ней в одной точке, которая идёт дальше в бесконечность. Эта точка называется точкой касания.

Секущая — это прямая, проходящая через плоскость и соединяющая две точки на её краях. Эта линия также может лежать на диаметре окружности.

Эти прямые служат для определения параллельности каких-либо двух прямых, откуда образуются равные углы, называемые соответственными и накрест лежащими.

Добрый день всем!

Совсем не знаком с такого рода геометрией и не знаю, выполнима ли эта задача, просто стало интересно.

Эти два кадра - раскадровка одной секунды видеозаписи. На первом фото - положение автомобиля в начале (:37), второе - в конце секунды (:38).

Знаю только примерную высоту колеса - от 55 до 57 см.

Можно ли из этих данных вычислить расстояние от точки d3 до точки a3 зная расстояние между точками d - d3 = 56 см, расстояние между точками a - a3 = 56 см?

Моя задача - узнать, какое расстояние проехал автомобиль за 1 секунду.

Как я понял, это предмет исследования линейной перспективы и нужно построить проекцию. Но не знаю, как это сделать...